拋物線焦點弦的性質(zhì)

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1、拋物線焦點弦的性質(zhì)　　在直線與拋物線的關(guān)系中，過拋物線焦點的直線與拋物線的關(guān)系尤為重要，它有一些重要且實用的性質(zhì)．這些性質(zhì)通常是解決相關(guān)問題的切人點，起著舉足輕重的工具性作用，有必要認(rèn)真領(lǐng)會、系統(tǒng)掌握．但教材中對其相關(guān)性質(zhì)并沒有明確而規(guī)范的逐一落列，只能靠教學(xué)者自身提煉、總結(jié)和歸納．現(xiàn)將其有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行探討和研究　　設(shè)拋物線的方程為y2=2px(P＞0),過焦點F(p2,0)作傾斜角為q的直線，交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱拋物線的焦點弦，拋物線的焦點弦具有以下性質(zhì)：　　性質(zhì)1：已知過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，則（由焦半徑公式

2、推導(dǎo)）　　性質(zhì)2：A、B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值。即x1x2=，y1y2=-p2　　證明：當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)AB的方程為：y=k(x－),代入拋物線得4k2x2－4p(k2+2)x+k2p2=0,設(shè)A（x1,y1）、B（x2,y2）,由韋達(dá)定理得x1x2=為定值；而

3、y1y2

4、===2p?=p2.∴y1y2=-p2?！　‘?dāng)直線AB斜率不存在時，易證上式結(jié)論成立?！　⌒再|(zhì)3：設(shè)拋物線y2=2px(p＞0),焦點為F，焦點弦PQ，則1

5、FP

6、+1

7、FQ

8、=2p(定值).　　證法：由P、Q向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，作QA

9、⊥Ox于A，F(xiàn)B4⊥PM于B，準(zhǔn)線與Ox交于E，　　　　(如圖)由△AFQ∽△BPF，則

10、AF

11、

12、QF

13、＝

14、BP

15、

16、FP

17、,即

18、EF

19、-

20、NQ

21、

22、QF

23、=

24、PM

25、-

26、EF

27、

28、PF

29、,　　但由定義知

30、NQ

31、=

32、FQ

33、,

34、PM

35、=

36、PF

37、,　　∴

38、EF

39、-

40、FQ

41、

42、FQ

43、=

44、PF

45、-

46、EF

47、

48、FP

49、,有

50、EF

51、

52、FQ

53、?1=1?

54、EF

55、

56、FP

57、即

58、EF

59、

60、QF

61、+

62、EF

63、

64、PF

65、=2,　　而

66、EF

67、=p,代入后即得1

68、FP

69、+1

70、FQ

71、=2p.　　性質(zhì)4：已知拋物線y2=2px(p>0),過焦點F的弦的傾斜角為θ（θ≠0），且與拋物線交于A

72、、B，則

73、AB

74、=；且當(dāng)直線AB與x軸垂直時，

75、AB

76、min=2P（此時稱弦AB為拋物線的通徑）。　　證明：同性質(zhì)3，分別過點A、B向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足記為A1、B1，則

77、AA1

78、=

79、AF

80、，

81、BB1

82、=

83、BF

84、，∴

85、AB

86、=

87、AA1

88、+

89、BB1

90、?！　≡O(shè)A（x1,y1）,B(x2,y2),則

91、AA1

92、=x1+，

93、BB1

94、=x2+，∴

95、AB

96、=x1+x2+p?！　‘?dāng)θ≠900時，設(shè)直線AB的方程為y=tgθ(x－c),代入拋物線方程得：　　tg2θ?x2－(2p+ptg2θ)x+=0,　　x1+x2=，∴

97、AB

98、=+p=?！　‘?dāng)

99、θ=900時，顯然

100、AB

101、=2p,符合上式，∴

102、AB

103、=?！　‘?dāng)θ=900時，

104、AB

105、min=2P，即為通徑的長?！　⌒再|(zhì)5：過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為θ（θ≠0）的直線，且與拋物線交于A、B兩點，則△AOB的面積S=。4　　證明：由性質(zhì)4得

106、AB

107、=，點O到直線ABy=tgθ(x－)的距離為　　d==?

108、sinθ

109、。　　∴S△AOB=???

110、sinθ

111、=?！　⌒再|(zhì)6：以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.　　證法一：如圖3，設(shè)PQ中點為R，則R即為PQ為直線圓的圓心，過R作RS⊥MN于S，又設(shè)P(x1,y

112、1),Q(x2,y2),　　　　　　∴RS為圓的半徑，命題得證.　　證法二：由圖3知RS為梯形PQNM的中位線，∴

113、RS

114、=12(

115、PM

116、+

117、QN

118、)=12

119、PQ

120、(利用性質(zhì)3)，　　∴RS為圓的半徑，故結(jié)論成立.　　性質(zhì)7：以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑

121、PF

122、為直徑的圓（⊙C）與y軸相切　　證明：分別過點P、C、F向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足記為P1、C1、F1，與y軸交于P2、C2，O，則C到y(tǒng)軸的距離，而

123、PF

124、=

125、PP1

126、=

127、PP2

128、+

129、P2P1

130、=

131、PP2

132、+

133、FO

134、，∴，即點C到y(tǒng)軸的距離等于⊙C的半徑，∴⊙C與y軸

135、相切?！　　　⌒再|(zhì)8：以拋物線y2=2px(p＞0),焦點弦PQ端點向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為M、N，則FM⊥FN.(其中F為焦點).　　證明：如圖4，由拋物線定義知

136、PF

137、=

138、PM

139、，∴∠1=∠2，4　　而PM∥Ox,∴∠2=∠3，∴∠1=∠3,　　同理∠4=∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠3+∠6=90°，∴FM⊥FN.4