奧數(shù)：小學(xué)奧數(shù)系列：第17講 計(jì)數(shù)問(wèn)題第07講

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1、第17講計(jì)數(shù)問(wèn)題第０７講計(jì)數(shù)綜合之三　例110只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著．請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的放法?答案66．分析解數(shù)學(xué)題的一種重要方法是轉(zhuǎn)化，不斷地轉(zhuǎn)化，把你不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為你熟悉的問(wèn)題．從10個(gè)有差別的橘子中選出3個(gè)橘子有多少種選法，這是我們熟悉的問(wèn)題．我們希望能把原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這種問(wèn)題．詳解把10只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，允許有的盤子空著，然后在每個(gè)盤子里再另加一個(gè)橘子，這就變成了把13只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里，不允許任何一個(gè)盤子空著．反過(guò)來(lái)也是一樣，把13只橘子

2、放到3個(gè)盤子里，不允許任何一個(gè)盤子空著，再?gòu)拿恳粋€(gè)盤子中取出一個(gè)橘子，這就變回題目中的放法．所以把10只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里且允許有的盤子空著的放法數(shù)目，和把13只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里且不允許任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù)目相同．我們現(xiàn)在來(lái)計(jì)算把13只無(wú)差別的橘子放到3個(gè)不同的盤子里且不允許任何一個(gè)盤子空著的放法數(shù)目．把這13只橘子排成一列，則這13只橘子之間有12個(gè)空隙．我們只要選定這12個(gè)空隙中的2個(gè)空隙，就相當(dāng)于把這13只橘子分成了3堆，如圖17—1．所以只要求出從12個(gè)空隙中選出2個(gè)空隙有多少種

3、方法就可以了．這種題目同學(xué)們是熟悉的，就是12×11÷2=66．所以題目中所求的不同的放法有66種．評(píng)注這是一道非常典型的題目，同學(xué)們應(yīng)該反復(fù)體會(huì)這種解法．例2若一個(gè)自然數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字，且每個(gè)數(shù)字小于其右邊的所有數(shù)字，則稱這個(gè)數(shù)是“上升的”．問(wèn)一共有多少個(gè)“上升的”自然數(shù)?答案502．分析我們先舉幾個(gè)例子來(lái)看看“上升的”自然數(shù)是什么樣的．12、l23、l234、l２345這些都是“上升的”自然數(shù)．初看之下似乎沒(méi)什么規(guī)律，連位數(shù)都是不確定的．但如果我們?cè)倥e一個(gè)極端的例子：123456789，我們就可以發(fā)現(xiàn)其中的奧妙．詳

4、解很明顯地可以看出，每個(gè)“上升的”自然數(shù)都可以由123456789這個(gè)數(shù)劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到．反過(guò)來(lái)，由從123456789這個(gè)數(shù)中劃掉若干個(gè)數(shù)碼得到的至少兩位的數(shù)都是“上升的”自然數(shù)．所以只要算出從123456789中劃掉若干個(gè)數(shù)碼所能得到的至少兩位的數(shù)有多少個(gè)就可以了．因?yàn)槊總€(gè)數(shù)碼都有劃掉和保留這兩種可能，而且得到的一位及零位數(shù)只有10個(gè)，所以所能得到的至少兩位的數(shù)有2×2×2×2×2×2×2×2×2—10=502(個(gè))．所以一共有502個(gè)“上升的”自然數(shù)．例3從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的

5、數(shù)有多少個(gè)?答案1246．分析這樣的數(shù)一個(gè)一個(gè)地找起來(lái)實(shí)在太麻煩，要想辦法把它們配起對(duì)來(lái)．詳解對(duì)于每一個(gè)三位數(shù)×××來(lái)說(shuō)，在1×××、2×××、3×××和4×××這4個(gè)數(shù)中恰好有1個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．所以從1000到4999這4000個(gè)數(shù)中，恰有1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．同樣道理，我們可以知道600到999這400個(gè)數(shù)中恰有100個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除，從200到599這400個(gè)數(shù)中恰有100個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．現(xiàn)在只剩下10到199這190個(gè)數(shù)了．我們還用一樣的辦法．160到199這40個(gè)數(shù)中，120到1

6、59這40個(gè)數(shù)中，60到88這40個(gè)數(shù)中，以及20到59這40個(gè)數(shù)中分別有10個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．而10到19，以及100到1"19中則只有13、17、103、107、112和116這6個(gè)數(shù)的數(shù)字和能被4整除．所以從10到4999這4990個(gè)自然數(shù)中，其數(shù)字和能被4整除的數(shù)有1000+100×2+10×4+6=1246個(gè)．例4用剪刀沿圖17—2中小方格的邊界把4×4正方形格紙剪成形狀、大小都相同的兩部分，共有多少種不同的剪法?(凡經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)能重合的剪法視為相同的剪法)答案6．分析因?yàn)橐颜叫渭舫尚螤?、大小都相?/p>

7、的兩部分，也就是剪成中心對(duì)稱的兩部分，所以剪刀所通過(guò)的路徑必須通過(guò)正方形的中心．我們不妨假設(shè)剪刀所剪的路徑是水平通過(guò)正方形中心的(如果是垂直的話只要把正方形旋轉(zhuǎn)90。就可以了)，如圖17—3．很明顯，一共有6種剪法，如圖17—4所示：例5紙上畫有一個(gè)4×4的方格表，在它的四條邊的旁邊分別寫有東、南、西、北這四個(gè)字．現(xiàn)在要用8個(gè)1×2的長(zhǎng)方形將它蓋住，共有多少種不同的覆蓋方法?答案36．分析標(biāo)上東、南、西、北意味著不必把旋轉(zhuǎn)后相同的覆蓋方法視作一樣．詳解很明顯，這8個(gè)長(zhǎng)方形中，橫著放的必然是偶數(shù)，豎著放的也必須是偶數(shù)個(gè)．下

8、面按照有多少個(gè)長(zhǎng)方形橫著放進(jìn)行分類．①有8個(gè)橫著放，0個(gè)豎著放，這時(shí)只有一種放法．②有0個(gè)橫著放，8個(gè)豎著放，這時(shí)也只有一種放法．③有6個(gè)橫著放，2個(gè)豎著放，這時(shí)豎著放的這兩個(gè)長(zhǎng)方形必須在同兩行里，在這兩行里只有3種放法：而這兩行有3種選擇，而且剩下的兩行只有1種方法用橫的長(zhǎng)方形覆蓋，所以這時(shí)有3×3=9種放法．④有