函數(shù)的基本性質(zhì)-單調(diào)性

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1、1.3.1函數(shù)基本性質(zhì)——單調(diào)性目標(biāo)：函數(shù)單調(diào)性的討論與證明一.函數(shù)的單調(diào)性.1.增函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于任意的I，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù)，相應(yīng)的區(qū)間I則稱為函數(shù)的遞增區(qū)間.直觀上，函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù)，就是在區(qū)間I上小的對(duì)應(yīng)小的，大的對(duì)應(yīng)大的，函數(shù)值隨著的增大而增大.所以如果函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù)，那么在區(qū)間I上函數(shù)的圖象（從左到右）是不斷地上升的.比如函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，圖象（從左到右）上升.比如函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，圖象（從左到右）上升.比如函數(shù)在區(qū)間上

2、為增函數(shù)，圖象（從左到右）上升.2.減函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，如果對(duì)于任意的I，當(dāng)時(shí)，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù)，相應(yīng)的區(qū)間I則稱為函數(shù)的遞減區(qū)間.直觀上，函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù)，就是在區(qū)間I上小的對(duì)應(yīng)大的，大的對(duì)應(yīng)小的，函數(shù)值隨著的增大而減小.所以如果函數(shù)在區(qū)間I上為減函數(shù)，那么在區(qū)間I上函數(shù)的圖象（從左到右）是不斷地下降的.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，圖象（從左到右）下降.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，圖象（從左到右）下降.比如函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，圖象（從左到右）下降.3.函數(shù)的單調(diào)

3、性和單調(diào)區(qū)間.如果函數(shù)在區(qū)間I上為增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在區(qū)間I具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，函數(shù)的遞增區(qū)間和函數(shù)的遞減區(qū)間統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例1.函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)、在區(qū)間上為增函數(shù)，也可以說成函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減、在區(qū)間上單調(diào)遞增.而區(qū)間和都是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.增、減函數(shù)的圖示.例2.下圖是定義在上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù).注：確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，遵循最大化原則，單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)能閉則閉.5.函數(shù)單調(diào)性的討論或證明（步驟——三步

4、走）.借助于函數(shù)的圖象，可以粗略地得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，但嚴(yán)格的討論或證明必須按定義的要求進(jìn)行.具體步驟如下：①設(shè)I，且.②計(jì)算，并討論其符號(hào)，以確定或.③根據(jù)①②作出結(jié)論.例3.證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).二.函數(shù)的最大、最小值設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果存在，使得對(duì)于任意的，都有，則稱為函數(shù)的最大值（這時(shí)我們也說函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值），記為：.如果存在，使得對(duì)于任意的，都有，則稱為函數(shù)的最小值（這時(shí)我們也說函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值），記為：.例4.求下列函數(shù)的最值.①..②..③..關(guān)于函數(shù)的最大、最小值我們

5、有如下的結(jié)論：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有定義.如果是閉區(qū)間上的增函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值；在點(diǎn)處取得最大值.如果是閉區(qū)間上的減函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值；在點(diǎn)處取得最小值.例5.求函數(shù)的值域.三.課堂練習(xí)：練習(xí).四.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性給定函數(shù)，及函數(shù)，經(jīng)復(fù)合后得到關(guān)于的復(fù)合函數(shù)，設(shè)當(dāng)時(shí)，內(nèi)函數(shù)單調(diào)，且相應(yīng)的值域區(qū)間為E（E={u

6、，}），如果外函數(shù)在時(shí)也是單調(diào)的，那么復(fù)合函數(shù)作為的函數(shù)在時(shí)也是單調(diào)的.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.例6.確定函數(shù)的單調(diào)性.五.單調(diào)函數(shù)的有關(guān)結(jié)論.①增函數(shù)與增函數(shù)

7、的和為增函數(shù)，減函數(shù)與減函數(shù)的和為減函數(shù).常數(shù)與增函數(shù)的和為增函數(shù)，常數(shù)與減函數(shù)的和為減函數(shù).②非零常數(shù)與單調(diào)函數(shù)的積仍為單調(diào)函數(shù)，且若這個(gè)常數(shù)為正，則單調(diào)性不變；若這個(gè)常數(shù)為負(fù)，則單調(diào)性改變.③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域上有相同的單調(diào)性.④偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域上有相反的單調(diào)性.注意：一些常用的函數(shù)的單調(diào)性（一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）.六.小結(jié)1.關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的理解，要注意以下幾點(diǎn)：①.函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.②.函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上函數(shù)值

8、的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì).因此要證明函數(shù)在上是遞增的，就必須證明對(duì)于區(qū)間上任意的兩個(gè)值，當(dāng)時(shí)，都有成立.若要證明函數(shù)在上不是遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到兩個(gè)特殊的，當(dāng)時(shí)，反而有即可.③.函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.比如函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，但不能說函數(shù)在整個(gè)定義域即內(nèi)是減函數(shù).2.注意求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①.確定函數(shù)的定義域；②.將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)；③.分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.④.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則.七.典

9、型例題1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.B.C.D.2.函數(shù)的單調(diào)性為（）A.在上為減函數(shù)B.在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)C.不能確定D.在上為增函數(shù)3.如果函數(shù)在上是增函數(shù)，對(duì)于任意的，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.B.C.D.4.作出函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.5.確定函數(shù)的單調(diào)性.6.確定函數(shù)的單調(diào)性.7.如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍.8.設(shè)函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù)，求證方程在R上至多有一個(gè)實(shí)根.9.設(shè)為定義在上的增函數(shù)，如果對(duì)于任意的，都有.①.求證.