初中數(shù)學(xué)中考熱點(diǎn)分析

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1、幾何最小值問題——中考熱點(diǎn)分析西鮑中心校初中部鄒景德中考數(shù)學(xué)是以新課程目標(biāo)和內(nèi)容為依據(jù)，全面考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，對(duì)基本技能的掌握和對(duì)基本數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。每年中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)都是教育專家、數(shù)學(xué)大師探討的方向。利用二次函數(shù)求經(jīng)濟(jì)問題和面積問題的最值，一直是中考中常見的熱點(diǎn)問題。但是近年來數(shù)學(xué)中考中的最值問題，其考查的方向與解決問題的方法發(fā)生了很大的變化，那就是幾何最小值問題。幾何最小值問題近幾年頻繁地出現(xiàn)在各地的中考試題中。幾何最小值的求解有兩個(gè)可用結(jié)論：一是數(shù)學(xué)基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”；二是垂線段的一個(gè)性質(zhì)

2、“垂線段最短”。另外：如圖（1），“點(diǎn)A、B在直線m的同一側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小”的方法已經(jīng)成為求解幾何最小值問題的重要的數(shù)學(xué)思想方法。下面是一些幾何最小值問題的解題分析，通過對(duì)這些問題的分析可以看到解決幾何最小值問題的一般思路。例1．如圖1-（1）：△ABC中，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn).（1）試在AB、BC上分別找一點(diǎn)M、N,使△PMN的周長(zhǎng)最??；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要使（1）中的△PMN的周長(zhǎng)最小，試找出點(diǎn)P的位置.1-（1）1-（2）1-(3)分析：如圖1-（2）分別作出點(diǎn)P關(guān)于AB、B

3、C的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2，這時(shí)在AB、BC上分別任取點(diǎn)M/、N/，都有PM/=P1M/，PN/=P2N/.故這時(shí)△PM/N/的周長(zhǎng)等于P1M/+M/N/+P2N/,要使△PM/N/的周長(zhǎng)最小，就是要使P1M/+M/N/+P2N/最小，則當(dāng)然P1、M/、N/、P2在同一直線上時(shí)最小.所以連接P1P2交AB、BC于M、N，這時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小.這里將ΔPMN的周長(zhǎng)先轉(zhuǎn)化為幾條折線段的和，進(jìn)將問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”來解決。如圖1-（3）分別連接BP1、BP2、BP，則BP=BP1=BP2，∠P1BP2=2∠ABC（為定

4、值）.而△PMN的周長(zhǎng)即為P1P2的長(zhǎng)，要使得P1P2最小,則須BP最小.根據(jù)“垂線段最短”當(dāng)有BP⊥AC時(shí)BP最小.從而確定了點(diǎn)P的位置.例2.當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式+的值最?。坎⑶蟪鲞@時(shí)的最小值.分析：轉(zhuǎn)化為幾何最小值問題求解如圖，設(shè)點(diǎn)A、B為直線a同側(cè)兩點(diǎn)，AC⊥a，BD⊥a，C、D為垂足，AC=2,BD=4,CD=8，點(diǎn)P為CD上動(dòng)點(diǎn)，PC=x，則PD=8-x.于是有PA=,PB=.故可將代數(shù)式+的最小值問題轉(zhuǎn)化為求PA+PB的幾何最小值問題，求解x的值進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求線段PC的長(zhǎng)了.例3．如圖：△ABC中，∠ACB

5、=90°,AC=3,BC=4,P為AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AC，PE⊥BC，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，線段DE的長(zhǎng)最短，并求出這個(gè)最短的值.分析：連接PC，根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，可將DE最小值的問題轉(zhuǎn)化為求線段PC的最小值問題。當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)“垂線段最短”，故當(dāng)CP⊥AB時(shí)PC最短。例4.如圖：四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)M是BD上的一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B劣時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到BN位置，連接EN,問點(diǎn)M在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最??？并求當(dāng)該最小值為+1時(shí)的正方形邊長(zhǎng).分析：解題的關(guān)鍵在于如何將

6、AM、BM、CM轉(zhuǎn)化為幾條折線段的和.連結(jié)MN有△BMN為等邊三角形結(jié)論，這時(shí)BM=MN；另易證△ABM≌△EBN,這時(shí)又有AM=BN.到此就可將AM+BM+CM轉(zhuǎn)化為BN+MN+CM來考慮.根據(jù)“兩點(diǎn)之間、線段最短”,顯然這時(shí)AM+BM+CM的最小值即為線段EC的長(zhǎng).故連接EC交BD于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求.接下來由AM+BM+CM的最小值為+1，即EC的長(zhǎng)為+1.這時(shí)在等腰ΔEBC中，BE=BC，∠EBC=150゜,EC=+1.求腰BC的長(zhǎng)也就簡(jiǎn)單了.例5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形ABCD是等腰梯形，A、B

7、在x軸上，D在y軸上，AB∥CD，AD＝BC＝，AB＝5，CD＝3，拋物線過A、B兩點(diǎn).（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)M是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，它到x軸與y軸的距離之和為d，求d的最大值；（3）當(dāng)（2）中M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使d取最大值時(shí)，此時(shí)記點(diǎn)M為N,設(shè)線段AC與y軸交于點(diǎn)E,F為線段EC上一動(dòng)點(diǎn)，求F到N點(diǎn)與到y(tǒng)軸的距離之和的最小值，并求此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo).分析：(1)易求A（－1，0）、B（4，0），b=3，c=4,拋物線的解析式為y=-x2+3x+4.（2）由點(diǎn)M在拋物線y=-x2+3x+4上可設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為,這時(shí).①

8、當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，d取最大值，值為4；②當(dāng)0