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1、第六章放寬條件的回歸模型（2） 異方差性教師：盧時光在前面的學(xué)習(xí)中，我們詳盡的考察了經(jīng)典正態(tài)線性回歸模型，我們用它來進行估計和假設(shè)檢驗和預(yù)測問題。但是，這個模型是建立在一些簡化了的假定基礎(chǔ)之上的。這些假定包括：1.回歸模型對于參數(shù)而言是線性的。2.各回歸元X的值在重復(fù)抽樣中是固定的。3.給定的X，干擾ui的均值為零。4.對于給定的X，ui的方差不變或稱之為同方差性。5.對于給定的X，干擾無自相關(guān)。6.如果X是隨機的，則干擾項與各個X是獨立的至少是不相關(guān)的。7.觀測的次數(shù)大于回歸元的個數(shù)。8.回歸元的取值必須有足夠的變異性。9.回歸模型被正確的設(shè)定。10.回歸元之
2、間無多重共線性。11.隨機干擾項ui是正態(tài)分布的。遺憾的是，我們尚無法對所有的問題都給出令人滿意的答案。接下來的工作中，我們對某些假定給予更多的注意，當(dāng)然有些假定我們并不過分的深究，特別是假定1、2、3、6和11中的問題。威瑟里爾（Wetherill）指出，實際上在應(yīng)用經(jīng)典線性回歸模型時，有兩類問題需要注意：（1）關(guān)于模型設(shè)定及對干擾項ui的假定問題，諸如假定1、2、3、4、5、9和11；（2）關(guān)于對數(shù)據(jù)的假定問題，諸如6、7、8和10。關(guān)于對來自干擾和模型設(shè)定的假定問題主要有三：1.要偏離一個具體的假定多遠才會產(chǎn)生不可忽視的差別？如ui不是正態(tài)分布，那么我們能
3、夠容忍多大程度上的正態(tài)性偏離？2.在一個具體問題中，我們怎樣發(fā)現(xiàn)某一個假定被破壞？比方說我們介紹過利用雅克-貝拉檢驗來檢驗ui的正態(tài)性。3.如果一個或者多個假定被破壞，我們能夠采用什么樣的補救措施？在剩下的問題中，假定7、8和10是緊密相關(guān)的，我們在多重共線性問題中探討；假定4在異方差問題中探討；假定5在自相關(guān)問題中探討。我們在探討這些問題的時候，遵循下列范式：1.明確問題的性質(zhì)；2.分析它的影響；3.提出偵測它的方法；4.考慮補救的措施。2異方差性經(jīng)典線性回歸模型假定：假定4：對于給定的X，ui的方差不變或稱之為同方差性。1.異方差的性質(zhì)以解釋變量的給定值為條
4、件的每一個干擾ui的方差是一個等于的常數(shù)，即同方差性。同方差性意味等同的分散程度。用符號來表示：從圖形上來看，以給定Xi為條件的Yi的條件方差（等于ui的條件方差），不管變量X取什么值，都保持不變。如果隨著Xi的取值的變化，方差不再是一個常數(shù)，則稱存在異方差性。用符號來表示：下圖表明，Yi的條件方差隨著X增加而增加：ui方差變化的理由（1）邊錯邊改學(xué)習(xí)模型。人們在學(xué)習(xí)的過程中，其行為誤差隨時間而減少。這時，預(yù)測會減小。例如，在給定的時間里，隨著打字練習(xí)時間的增加，不僅打字出錯的個數(shù)而且打錯個數(shù)的方差都有所下降。很多人類的行為，包括經(jīng)濟行為也遵循著學(xué)習(xí)模型。例如生
5、產(chǎn)。（2）隨著收入的增長，人們有更多的備用收入，從而如何支配它們的收入有了更大的選擇范圍。例如，做儲蓄對收入的回歸時，很可能發(fā)現(xiàn)與收入具增。同理利潤豐厚的公司比利潤微薄的公司在紅利分配政策上，可以預(yù)料有更大的變化。（3）隨著數(shù)據(jù)采集技術(shù)的改進，可能減小。（4）異常值出現(xiàn)，往往產(chǎn)生異方差。例如，下圖描繪了二次世界大戰(zhàn)之后到1969年20個國家的股票價格波動于消費價格波動的關(guān)系。圖中，智利的觀測值遠大于其他國家，可看做一個異常值。類似這種情況，同方差性就無法保證了。剔除異常值是通常維持同方差性的方法之一。（5）回歸模型設(shè)定是不正確的。例如在一個對商品的需求函數(shù)中，忽
6、略了互補或替代商品的價格，則回歸殘差可能會給人以異方差的表象；而將所忽略的變量包含在內(nèi)時，這種印象也許就消失了。注意，異方差問題在橫截面數(shù)據(jù)中比時間序列數(shù)據(jù)中更常見?？紤]下面一個例子。平均地來看，大的廠商比小的廠商平均支付更多的工資。但是在不同的行業(yè)工資有較大的變異性。這一點還可以從職工人數(shù)組組內(nèi)的工資極差（最高與最低值的差）看出來。從一組到另一組，極差說明了各職工人數(shù)組的工資收入的異方差性。2.出現(xiàn)異方差時的OLS估計現(xiàn)在引入異方差性，保留經(jīng)典模型的其他所有假定，雙變量模型的OLS估計是：此時，方差的表達式不同于同方差假定下的方差公式：當(dāng)然如果對于每一個i都有
7、，這兩個公式是相同的。如果經(jīng)典模型的所有假定，包括同方差性在內(nèi)，全部成立，則是最優(yōu)線性無偏估計量（BLUE）。現(xiàn)在我們?nèi)∠讲钚缘募僭O(shè)，容易證明仍然是線性的和無偏的。但是它不是最優(yōu)的。為什么雖然是無偏的但不是最優(yōu)的？直觀的理由是：好比在一個袋子中隨機摸兩種顏色的彩球，如果紅球的數(shù)量是黑球的兩倍，那么隨機摸出紅球的數(shù)量也是黑球的兩倍，公平起見，我們規(guī)定摸一次黑球等于兩個紅球，這樣摸出紅球和黑球的幾率才會相等。那么我們?nèi)绾卧诨貧w中利用這種組間的變異呢？如圖所示，個就業(yè)組之間的工薪收入有相當(dāng)大的變異。如果我們做工薪收入對就業(yè)人數(shù)回歸，不同就業(yè)人數(shù)的工薪收入變化是不同
8、的，雇傭人數(shù)少的和雇傭人
