Soddy圓作法的探究

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1、索迪(SODDY)圓的作法探究金占魁尺規(guī)作圖系列叢書【Soddy圓的作法探究】※※※※※※※※索迪(Soddy)圓的作法探究金占魁湖北隨縣第一高級中學寫在前面的話這個暑期酷熱而慢長，閑寂室內(nèi)，偶翻昔日的讀書筆記，忽然有一股想把所學知識系統(tǒng)歸納的沖動。想到了就干起來。第一個系列是阿波羅尼奧斯問題，共四篇，它們是：《解法基礎(chǔ)》、《常規(guī)解答》、《特款解法》、《名家解法》。第二個系列是尺規(guī)作圖中的偏鋒雜題：《等內(nèi)切圓定理的解答探究》、《同時等分面積周長問題的解法探究》、《索迪圓的作法探究》。需要說明的是，由于本人的筆記中鮮有原著原作者的記錄，當時只為了省事為了記重點，所以本系列書

2、叢中，不說明其引用來源和出外，在此向原著作者表示歉意，同時也表達自己對原作者們的崇高敬意!謝謝他們的辛勤付出!本文作圖力求簡約，隱藏了旁條斜枝，尺規(guī)基本作圖法也是一帶而過，比如作△ABC的外接圓，我會敘述為：作⊙(ABC),而不是“作△三邊的中垂線，它們的交點為O，再以O為圓心以OA為半徑作圓”，若是這樣的話，它會浪費你的寶貴的閱讀時間的。同時為敘述簡潔，解答部分先作如下約定：圓的記法：⊙(ABC)---表示過A、B、C三點的圓或△ABC的外接圓?！袮(R)----表示以A為圓心，R為半徑的圓。示例，⊙A(R-r)--表示以A為圓心，(R-r)為半徑的圓?！袮(BC)--

3、-表示以A為圓心，BC為半徑的圓。上面的敘述與“幾何畫板”作圖有關(guān)。注意!本書不采用這種記圓法：⊙(O，R-r)-----以O為圓心，以R-r為半徑的圓?！袿(ABCDF)-----A、B、C、D、F多點共圓于⊙O。還有就是本系列叢書中，沒有作弧的說法，全部改為作圓了。作圓的目的可能是為了作另一圓的切線，亦或者是為了截取線段的長，這可能對讀者帶來不便，請讀者們諒解!2019年7月于隨州1【金占魁系列叢書】【Soddy圓的作法探究】※※※※※※※※一、三圓兩兩外切阿波羅尼奧斯問題（Apollonius'Problem）是一道有名的幾何題：“平面上給定三個圓，如何用尺規(guī)作圖構(gòu)

4、造出和這三個已知圓都相切的圓”。而它的特款是三圓兩兩外切的時候，諾貝爾化學獎獲得者索迪，在1936年用詩歌形式敘述了三圓兩兩外切時的“笛卡兒圓定理”,索迪稱之為“精確之吻”--------雙唇親吻也許不為三角所迷戀。當?shù)谒膱A互相親吻那三個定圓，結(jié)局稍許不同。只要做到這一點，第四圓必定是三圍一或一包三。如果是三圍一，毫無疑問這個圓從外面得到了三個吻。如果是一包三，那就是從內(nèi)部接吻三遍。半徑越小，曲率則正好相反。半徑與曲率的秘密讓歐幾里得無言現(xiàn)在不需要經(jīng)驗之談。既然零曲率時圓退化成直線，凹曲率時就應把負號選，四個曲率的平方和是他們和的平方的一半。圓與球是親密的同性伙伴而我們是

5、它們的推廣員立體空間的五球等同于平面上的四圓如果第五球親吻給定的四球則“曲率之和的平方”與“其平方和”間的倍數(shù)是三。后人就把“與兩兩外切的三圓都相切的圓”稱為索迪圓。與三圓都內(nèi)切的圓⊙S′叫外索迪圓，與三圓都外切的圓⊙S叫內(nèi)索迪圓。我們在作索迪圓之前，就必須先畫兩兩外切的三圓。下面就說說它的常見的兩種作法：作法一：1、作△ABC的內(nèi)切圓，切點為D、E、F。2、作⊙A(AD)、⊙B(BE)、⊙C(CF)即可。2【金占魁系列叢書】【Soddy圓的作法探究】※※※※※※※※作法二：1、在線段BC上任取一點E，作⊙B(BE)、⊙C(CE)，在⊙B上取一點G，過C作CH∥BG交⊙C

6、于H，直線GH交直線BC于T，則T是兩圓的外位似中心。2、在⊙B上再任取一點S，直線ST交兩圓于D、F兩點，直線BD、CF交于A。3、作⊙A(AD)即可。二、索迪(Soddy)圓的作法我在拙作《阿波羅尼奧斯問題之特款解法》中，有部分解答，現(xiàn)復制過來，以供讀者。已知：三圓⊙A、⊙B、⊙C，⊙A與⊙B外切于D，⊙B與⊙C外切于E，⊙C與⊙A外切于F。求作：⊙O,使它與⊙A、⊙B、⊙C均相切。分析：這里首選熱爾崗解法，在解之前，還是先復習一下三圓兩兩外離的熱爾崗解法吧。后面會作一些解法上的簡化。已知：⊙A、⊙B、⊙C兩兩外離求作：⊙O,使它與⊙A、⊙B、⊙C均相切。作法：1、作

7、出⊙A、⊙B、⊙C的外相似軸L及根心S。2、作⊙A、⊙B、⊙C的正交圓⊙S，與三圓的交點分別為G、H、M、N、P、Q。直線GH、MN、PQ分別交相似軸L于W、U、V。3、過W作⊙A的兩條切線，切點為X、X′，過U作⊙B的兩條切線，切點為Y、Y′，過V作⊙C的兩條切線，切點為Z、Z′。則⊙(XYZ)和⊙(X′Y′Z′)即是所求的⊙O。3【金占魁系列叢書】【Soddy圓的作法探究】※※※※※※※※現(xiàn)在把三圓向根心S靠攏，直至三圓兩兩外切。設公切點分別為D、E、F。正交圓正好經(jīng)過這三點D、E、F，此時正交圓的作用消失，不再需要作出正