“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題及解答

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1、2010年“華約”自主招生試題解析一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)w-(67+/)2,其中G為實(shí)數(shù)，若w的實(shí)部為2,則w的虛部為()1+Z(D)-3(A)(B)-1(C)-22222.設(shè)向量a,b,滿足

2、d

3、=l,db-m,貝ij

4、a+偽

5、(fw/?)的最小值為()(A)2(B)Vl+m2(C)1(D)yjl-m23。缺4。缺5.在ABC中，三邊長Q,b,(A滿足o+c=3b,則tan—ctan土的值為()22(A)丄(B)丄(C)丄'2(D)一54236.如la,ABC的兩條高線AD,BE交于〃，其外接圓圓心為O,過O作OF垂直BC于F,OH與相交于G,則

6、OFG與4GAH^積之比為()(A)1:4(B)1:37.設(shè)/(x)=eav(^>0).過點(diǎn)P(o,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=/(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)人，則APQ7?的面積的授小值是()V2eee2(A)1(B)-—(C)-(D)—2248.設(shè)雙曲線Cl:^--^-=k(a>2,/c>0).橢圓C2：4+y=l-若C?的短軸長與G的實(shí)軸長的比值等于C?的離心率，則G在c?的一?條準(zhǔn)線上截得線段的長為()(A)2』2+k(B)2(C)4^4+k(D)49.欲將正六邊形的各邊和各條對(duì)角線都染為〃種顏色Z—,使得以正六邊形的

7、任何3個(gè)頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)的三角形有3種不同顏色的邊，并且不同的三角形使用不同的3色組合，則乃的最小值為()(A)6(B)7(C)8(D)97.設(shè)定點(diǎn)/、B、aQ是以。點(diǎn)為中心的正四面體的頂點(diǎn)，用CT表示空間以直線CM為軸滿足條件b(B)=C的旋轉(zhuǎn)，用?■表示空間關(guān)于OCD所在平面的鏡面反射，設(shè)/為過4B中點(diǎn)與CD中點(diǎn)的直線，用少表示空間以/為軸的180°旋轉(zhuǎn).設(shè)br表示變換的復(fù)合，先作7■，再作b。則e可以表示為()(A)crorocrorocT(B)cy(y(7(C)t

8、圓半徑R=2.2(I)求角C的大??；(II)求ABC面積的最大值.12.設(shè)4B、C、Q為拋物線x2=4y上不同的四點(diǎn)，4。關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，EC平行于該拋物線在點(diǎn)D處的切線/.設(shè)D到直線直線MC的距離分別為已知4+仏二血

9、血>

10、?(I)判斷ABC是銳角三角形、肓角三角形、鈍角三角形屮的哪一種三角形，并說明理由；(II)若ABC的面積為240,求點(diǎn)/的坐標(biāo)及直線BC的方程.13.(I)正四棱錐的體積r=—,求正四棱錐的表面積的最小值;3(II)-般地，設(shè)正〃棱錐的體積7為定值，試給出不依賴于77的一個(gè)充分必要條件，使得正77棱錐的表而積取得

11、最小值.14.假定親本總體小三種基因型式：AA.Aa.aa的比例為u:2v:w(w>0,v>0,w>0,z/+2v+w=1).Fl.數(shù)量充分多，參與交配的親木是該總體中隨機(jī)的兩個(gè).(I)求子一代中，三種基因型式的比例；(II)子二代的三種基因型式的比例打子一代的三種基因型式的比例相同嗎？并說明理由.15.設(shè)函數(shù)廣(兀)=廿巴，且存在函數(shù)s=0(/)=G+%〉丄,qhO),滿足二!)=空tl.x+12ts(I)證明：存在函數(shù)(二肖(s)二cs+d(s>0),滿足/、(竺也)=空二1；st(II)設(shè)坷=3,￡+]=/(￡),=1,2,….證明：卜,廠2卜占

12、.2010年五校合作自主選拔通用基礎(chǔ)測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題ADCABDBD二、解答題彳+B11?解：(I)由2sin2+cos2C=l得22cos2—-1=-cos2C,2所以cosC=-(2cos2-1).即2cos2C+cosC-l=0(2cosC一l)(cosC+1)=0因?yàn)镃為ABC內(nèi)角所COSC+1H0,cosC=—,23(II)c=27?sinC=4又由余弦定理得c?=/+戻-2abcosC,,即12=又a2+b2-ab>2ab-ab=ab,所以abG2.ABC12=3^3,,當(dāng)且僅當(dāng)a=b即ABC為等邊三角形時(shí),ABC的而積取得最大

13、值3遲.12.解:(I)設(shè)A(x0，—Xq),B(x},—),C(x2,—%2)?由y=-xnJ知的斜率k=--xQ9因此可以設(shè)直線BC方程為y=—丄兀。兀+b.把y=^x2代入,整理得x2+2xox-46=O,所以X[+兀2=-2x0因?yàn)锳B,AC都不平行于尹軸，所以直線AB.AC斜率之和為右（彳-X：）一球）=(%,+兀2+2兀0)=0可知肓?線AB,AC的傾角互補(bǔ)，而AD平行于X軸,所以平分ZCAB.作DE丄AB.DF丄4C,E,F為垂足則ADEMDF可得DE=DF由己^DE+DF=y[lAD,可nDE=y[2AD,,

14、所以ZDAE=ZDAF=45所以ZCAB=90,ABC為直角三角形（II）如圖，根據(jù)的結(jié)果，可