建模講座(三)初等模型-楊斌

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1、數(shù)學(xué)建模系列講座（三）題目：初等模型主講：楊斌(城市學(xué)院基礎(chǔ)課部)主要內(nèi)容：一、數(shù)學(xué)建模過(guò)程二、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟三、模型的分類四、初等模型五、案例分析六、怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模一、數(shù)學(xué)建模過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型表述（歸納）求解（演繹）解釋驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)對(duì)象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系二、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟1方法機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：對(duì)復(fù)雜性問(wèn)題或主觀性問(wèn)題的研究方法。把定性的思維和結(jié)論用定量

2、的手段表示出來(lái)。如：層次分析法。2建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1）模型準(zhǔn)備：了解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確建模目的，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。有時(shí)需查資料或到有關(guān)單位了解情況等。2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要地合理地簡(jiǎn)化。不同的假設(shè)會(huì)得到不同的模型。如果假設(shè)過(guò)于簡(jiǎn)單可能會(huì)導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動(dòng)物的體重問(wèn)題”；如果假設(shè)過(guò)于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個(gè)因素都考慮進(jìn)去，可能會(huì)陷入困境，無(wú)法進(jìn)行下一步工作。分清問(wèn)題的主要方面和

3、次要方面，抓主要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問(wèn)題的本質(zhì)，簡(jiǎn)化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫(huà)圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等。會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)技術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級(jí)數(shù)，三角級(jí)數(shù)，二項(xiàng)式展開(kāi)、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗(yàn)：把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)

4、用中可能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)；最優(yōu)決策控制。三、模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對(duì)模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動(dòng)態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)模型等。4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾

5、何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問(wèn)題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問(wèn)題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等。四、初等模型1、是指可以用初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)構(gòu)造和求解的模型。2、需要指出的是：衡量一個(gè)模型的優(yōu)劣全在于它的應(yīng)用效果，而不是采用了多么高深的數(shù)學(xué)方法。進(jìn)一步說(shuō)

6、，如果對(duì)于某個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們用初等的方法和所謂高等的方法建立了兩個(gè)模型，他們的應(yīng)用效果相差無(wú)幾，那么受到人們歡迎并采用的，一定是前者而非后者。五、案例分析（一）懸崖高度的估算（二）雨中行走問(wèn)題（三）席位分配問(wèn)題（一）崖高的估算假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功能的計(jì)算器，你也許會(huì)出于好奇心想用扔下一塊石頭聽(tīng)回聲的方法來(lái)估計(jì)山崖的高度，假定你能準(zhǔn)確地測(cè)定時(shí)間，你又怎樣來(lái)推算山崖的高度呢，請(qǐng)你分析一下這一問(wèn)題。我有一只具有跑表功能的計(jì)算器。方法一假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式來(lái)計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則

7、可求得h≈78.5米。我學(xué)過(guò)微積分，我可以做得更好，呵呵。除去地球吸引力外，對(duì)石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：令k=K/m，解得代入初始條件v(0)=0，得c=－g/k，故有再積分一次，得：若設(shè)k=0.05并仍設(shè)t=4秒，則可求得h≈73.6米。聽(tīng)到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時(shí)間中包含了反應(yīng)時(shí)間進(jìn)一步深入考慮不妨設(shè)平均反應(yīng)時(shí)間為0.1秒，假如仍設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時(shí)間后應(yīng)為3.9秒，代入式①，求得h≈69.9米。①多測(cè)幾次，取平均值再一步深入考慮

8、代入初始條件h(0)=0，得到計(jì)算山崖高度的公式：將e-kt用泰勒公式展開(kāi)并令k→0+，即可得出前面不考慮空氣阻力時(shí)的結(jié)果。還應(yīng)考慮回聲傳回來(lái)所需要的時(shí)間。為此，令