淺談導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

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1、淺談導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)是整個(gè)高屮教學(xué)的核心內(nèi)容，也是貫穿屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一根主線，更是各地高考題，模擬題的寵兒，在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們常常借助導(dǎo)數(shù)，將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類(lèi)問(wèn)題的根本，從本質(zhì)入手，進(jìn)而求解.應(yīng)用一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性這一類(lèi)題主耍考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.通過(guò)求導(dǎo)將函數(shù)與方程、不等式結(jié)合起來(lái)，考查運(yùn)算求解能力.例1已知函數(shù)?(x)px+1,a為正常數(shù).(1)若f(x)二lnx+“(x),且a=92,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若g(x)二

2、lnx

3、+e(x),且對(duì)任意xl,x2e(0

4、,2],xlHx2,都有g(shù)(x2)-g(xl)x2-xl<-l,求a的取值范圍.解析：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間?第(2)問(wèn)求解的關(guān)鍵是將已知不等式g(x2)-g(xl)x2-xl<-l轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解.(2)由g(x2)-g(xl)x2-xl<-l,點(diǎn)評(píng)：該題信息給出的是不等式，不少同學(xué)在轉(zhuǎn)化時(shí)無(wú)從下手，挖掘不等式的本質(zhì)可知，其實(shí)不等式對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題?撥開(kāi)云霧看問(wèn)題，分析出h(x)具備的單調(diào)性后，就可以無(wú)招勝有招.在代數(shù)中，“元”是很重要的概念，不少問(wèn)題都帶有兩個(gè)“元”，即X1,x2,在解方程組時(shí)最

5、根本的方法是消元?但是木題中的兩個(gè)元xl,x2如何轉(zhuǎn)化？從上面的分析可以得知，挖掘出隱含的函數(shù)單調(diào)性，即達(dá)到了“消”的目的，從該題屮挖掘出蘊(yùn)含的思想方法，詮釋其內(nèi)容，回到基本概念屮去，分析題日的信息，聯(lián)系基礎(chǔ)知識(shí)與基木思想方法，聯(lián)系已知與未知的關(guān)系，獲得解題思路?在具體運(yùn)算求解過(guò)程中，需要解決含參不等式恒成立問(wèn)題，這類(lèi)題考查同學(xué)們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，一般情況下可以分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的值域（最值），或直接求導(dǎo)，分類(lèi)討論求值域.通過(guò)導(dǎo)數(shù)把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題化為不等式問(wèn)題頗受各地命題專(zhuān)家的青睞?雖然試題丁變?nèi)f化，但是解決問(wèn)題的思想方法基本相同.在建立

6、目標(biāo)函數(shù)后，另辟蹊徑，極富成效的進(jìn)行變形，問(wèn)題就迎刃而解?對(duì)試題的異樣的分析與解答，拓寬我們的視野，提高思維的靈活性，加深對(duì)?數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，提升數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)?所以，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要善于注意一題多解，一解多用.應(yīng)用二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及參數(shù)的取值范圍用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)的取值范圍，其實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極（最）值的應(yīng)用?問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何聯(lián)系參數(shù)和所求得的函數(shù)的極（最）值，破解的方法是根據(jù)題目的要求，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，探求函數(shù)極（最）值，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想去分析問(wèn)題，可以使得問(wèn)題的求解

7、有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).例2已知函數(shù)f（x）=3ax4~2（3a+l）x2+4x.點(diǎn)評(píng)：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍是高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，英根據(jù)是函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增（減）時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大（?。┯诨蛘叩扔诹愫愠闪?，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題解決.（2）在形式上的二次函數(shù)問(wèn)題中，極易忽略的就是二次項(xiàng)系數(shù)可能等于零的情況，這樣的問(wèn)題在函數(shù)的單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得考生特別注意.應(yīng)用三利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的分布研究方程的根的情況，可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導(dǎo)數(shù)

8、這一工具在研究方程屮的重要應(yīng)用?將方程、不等式等冇關(guān)知識(shí)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合的綜合性問(wèn)題，主要考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是把不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值?應(yīng)用這種方法的難點(diǎn)是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或者根據(jù)題日證明H標(biāo)的要求，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.破解的基本思路是從函數(shù)的角度分析要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后去構(gòu)造函數(shù)式，或者從不等式證明的放縮方向上去構(gòu)造函數(shù)式，使所構(gòu)造出的函數(shù)是不等式證明所需要的最佳函數(shù).點(diǎn)評(píng)：該題的難點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是第（2）問(wèn)中求解函數(shù)的極值要根據(jù)b的取值范圍進(jìn)

9、行分類(lèi)討論；二是證明關(guān)于n的不等式，解決此類(lèi)問(wèn)題的一般思路是將不等式直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.同學(xué)們?cè)谇蠼鈱?dǎo)數(shù)綜合題時(shí)還耍注意以下兒點(diǎn)：首先研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)要求解出函數(shù)的定義域?如果不注意函數(shù)定義域的限制，則討論就會(huì)更加麻煩；其次利用函數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值；最后求參數(shù)范I韋I問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題或存在性問(wèn)題，求解函數(shù)零點(diǎn)或方程根的分布問(wèn)題常常先研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值（極值），作出函數(shù)的大致圖象，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題.（作者：殷高榮，如皋市教

10、育丿』教研室）