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《2014年華約自主招生數(shù)學(xué)試題及解答.pdf》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、2014年華約自主招生數(shù)學(xué)試題1.xxxxx,,,,是正整數(shù),任取四個(gè)其和組成的集合為{44,45,46,47},求這五個(gè)數(shù).1234512.乒乓球比賽,五局三勝制.任一局甲勝的概率是pp()?,甲贏得比賽的概率是q,求p2為多少時(shí),qp?取得最大值.2?3.函數(shù)fx()?(cosx?sin)sin(xx?)2sin?axba?(?0)的最大值為1,最小值為24?4,求ab,的值.??114.(1)證明y?fgx(())的反函數(shù)為y?g(f())x;?1(2)Fx()?f(?xGx),()?f()x
2、,若Gx()的反函數(shù)是Fx(),證明fx()為奇函數(shù).2014年華約自主招生·數(shù)學(xué)試題－122xy2225.已知橢圓??1與圓x??yb,過橢圓上一點(diǎn)M作圓的兩切線,切點(diǎn)分別為22abPQ,,直線PQ與xy,軸分別交于點(diǎn)EF,,求S?EOF的最小值.na6.已知數(shù)列{}an滿足:a11?0,ann??np?qa.(1)若q?1,求n;(2)若1,1pq??,求證:數(shù)列{}an有界.xnx27.已知nNxn??,,求證:nn?(1?)e?x.n2014年華約自主招生·數(shù)學(xué)試題－2華約參考答案:41.【
3、解】五個(gè)數(shù)任取四個(gè)應(yīng)該可以得到C?5個(gè)不同的和,現(xiàn)條件中只有4個(gè)不同的和,故必5有兩個(gè)和值相同.而這五個(gè)和值之和為4(x?x?x?x?x),是4的倍數(shù),所以這個(gè)相同123454445464647????的和值只可能是46,從而有x?x?x?x?x??57,故這五個(gè)數(shù)123454分別為57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13.32.【解】若共比賽了3局,則甲贏得比賽的概率為p;23若共賽了4局,則最后一局甲勝,甲贏得比賽的
4、概率為Cp(1?p);3232若共比賽了5局,則最后一局甲勝,甲贏比賽的概率為Cp(1?p),因此4323232q?p?Cp(1?p)?Cp(1?p),343232325431所以q?p?p?Cp(1?p)?Cp(1?p)?p?6p?15p?10p?p,p?;3425431432設(shè)fp()6?p?15p?10p?p,p?,則fp?()30?p?60p?30p?1,2432221即fp?()30?p?60p?30p??130[pp(?2p?1)?],302212121所以fp?()30[?pp(?1)
5、?]30(?p?p?)(p?p?),3030301221又因?yàn)閜?(,1),所以pp?,故pp???0,230411??2130111所以令fp?()0?時(shí),即pp???0,得p????;30224301111又因?yàn)閜?(,1),所以取p???,224301111111易知當(dāng)p?(,??)時(shí),fp?()0,?p?(??,1)時(shí),fp?()0?,224302430111所以當(dāng)p???時(shí),fp()有唯一極大值,也是最大值.243022213.【解】易知fx()(cos?x?sinx)2sin?axb??
6、?sinx?2sinaxb??,令tx?sin,221則問題等價(jià)于gt()???t2axb??在[1,1]?上的最大值和最小值分別為1和?4.2①當(dāng)對(duì)稱軸ta????1,即a?1時(shí),則gt()在[1,1]?上遞減,則2014年華約自主招生·數(shù)學(xué)試題－3?1g(1)??2ab???1,?5??2?a?,?,解得?4?g(1)??2ab??1??4?b??1???2?21g(?a)?a??b?1??2②當(dāng)對(duì)稱軸????10a,即01??a時(shí),則?,?g(1)??2ab??1??4??22消去b得aa?2
7、??40,解得a???15(0,1)?,舍去.5綜上①②可知,ab?,1??為所求.44.【解】(1)證明:由反函數(shù)定義可知y?fgx(())的反函數(shù)為x?fgy(()),故??11?1?1?1f()x??f((()))fgygy(),從而g(f())x??g(())gyy,??11所以y?g(f())x為y?fgx(())的反函數(shù).?1(2)由Gx()的反函數(shù)是Fx(),故GFx(())??GG(())xx,?1?1則fx()?fGFx((())),又因?yàn)镚x()?f()x,所以GFx(())??
8、f(Fx()),?1代入得fx()?fGFx((())),?ff((?Fx()))??Fx()??f(?x),所以fx()為奇函數(shù).2225.【解】設(shè)Ma(cos,sin)(?b???[0,2))?,直線PQ為點(diǎn)M關(guān)于圓x??yb的切點(diǎn)弦,其22bb方程為(cos)a??x??(sin)byb,從而xy??,,EFacos??sin331bb于是S?x?x??,?EOFEF2aasin2?22當(dāng)且僅當(dāng)M(??a,b)時(shí),上述等號(hào)成立.22nn?16.【解】(1)當(dāng)q?
