2014年華約自主招生數(shù)學(xué)試題及參考解答.doc

《2014年華約自主招生數(shù)學(xué)試題及參考解答.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、2014年“華約”自主招生數(shù)學(xué)試題1、設(shè)，，，，是5個正整數(shù)，從中任取4個數(shù)求和所得的集合為，求，，，，的值．2、甲乙2人進(jìn)行乒乓球比賽，單局甲勝的概率為（>），若采取5局3勝制，設(shè)甲比賽獲勝的概率是q．問當(dāng)為何值時，取得最大值？3、已知函數(shù)（a>0）有最大值1和最小值-4．求a、b的值．4、已知函數(shù)和的定義域都是R，設(shè)表示的反函數(shù)，表示函數(shù)與函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，即（1）證明．（2）記，,證明：若是的反函數(shù)，則是奇函數(shù)．5、從橢圓上的動點M作圓的2條切線，切點為P和Q，直線PQ與x和y軸的交點分別為E和F，求面積的最小值。6

2、、已知數(shù)列滿足，。（1）若，求的通項公式；（2）若，，求證：數(shù)列有界。7、設(shè)為正整數(shù)，證明當(dāng)時，．附錄：2014年“華約”自主招生數(shù)學(xué)參考解答1[解法1]設(shè)五個數(shù)任取四個，得到的五個和分別是44，45，46，47，．由題意，是44，45，46，47中的一個．又是整數(shù)，知且．從而這五個數(shù)是，，，，．[解法2]2【解法1】設(shè)甲勝的局用1表示，乙勝的局用0表示．甲取得比賽勝利的情形有：111,0111,10101.，設(shè)．則．由單調(diào)性可知，當(dāng)時，取到最大值．【解法2】4、解析：5、解析：7答案：原不等式等價于：；若，則左邊非正，

3、右邊非負(fù)，自然成立．若，則右邊，也成立，證畢．注：第7題證明中用了如下兩個事實：（1）若，則；（2）若，，則．其中第二個不等式稱為貝努力不等式．歷年“華約”題目中圍繞的不等式屢見不鮮．除上述兩個結(jié)論外，（3）若，則；（或）．（4）若，則；（5）若，則．也常用在不等式的估計中．上面的不等式涵蓋了指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)的一階或高階估計，比較全面，是值得了解的！