淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc

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1、淺談導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作為高中新教材的新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學(xué)增添了新的活力，特別是導(dǎo)數(shù)廣泛的應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列、實(shí)際等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出了一道亮麗的風(fēng)景線，也使它成為新教材高考試題的熱點(diǎn)和命題新的增長(zhǎng)點(diǎn)．這幾年的高考命題趨勢(shì)表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”，成為分析問題和解決問題的重要工具．將導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容結(jié)合，不僅能加強(qiáng)能力的考查力度，而且也使試題具有更廣泛的實(shí)踐意義．下面舉例探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．（一）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題⒈利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式用解析式表示函數(shù)關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式，函

2、數(shù)的一些基本性質(zhì)就會(huì)顯得更加的明了．例1設(shè)函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為，若函數(shù)在處取得極值，試確定函數(shù)的解析式．解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，從而，又切線斜率，故在處的導(dǎo)數(shù)，而，，從而，又函數(shù)在處取得極值，所以解得，，所以所求函數(shù)解析式為．2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值：求函數(shù)的最（極）值是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是高考經(jīng)常要考查的內(nèi)容之一，它涉及到了函數(shù)知識(shí)的很多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡(jiǎn)化，步驟清晰，也容易掌握，從而進(jìn)一步明確了函數(shù)的性態(tài)．一般地，函數(shù)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，則在上的最值求法：

3、(1)求函數(shù)在上的極值點(diǎn)；(2)計(jì)算在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；(3)比較在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值．例2求函數(shù)在上的最大值和最小值．解：由于，則當(dāng)或時(shí)，，所以，為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，，所以為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．又因?yàn)?，，，，所以，?dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值．3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，是研究函數(shù)時(shí)經(jīng)常要注意的一個(gè)性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮的正負(fù)即可，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣．例3求的單調(diào)區(qū)間．解顯然，定義域?yàn)?/p>

4、，又，由，得或；又由，得或，所以的增區(qū)間為和，減區(qū)間為和．（二）利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題⒈求過某一點(diǎn)的切線方程。此種題型分為點(diǎn)在曲線上和點(diǎn)在曲線外兩種情況，的幾何意義就是曲線在點(diǎn)處切線的斜率，過點(diǎn)的切線方程為，但應(yīng)注意點(diǎn)在曲線上，否則易錯(cuò)．例4求曲線在原點(diǎn)處的切線方程．解顯然點(diǎn)不在曲線上，由于，則設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則過點(diǎn)的切線方程為．因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，即，所以，故切線方程為，即．⒉求兩曲線切線方程。例5已知拋物線和，如果直線同時(shí)是和的切線，稱是和的公切線，求公切線的方程．解由，得，所以曲線在點(diǎn)的切線方程是，即．(1)由，得，所以曲線在點(diǎn)的切線方程是，即．(2)若是過與的公切線，則(

5、1)(2)表示的是同一直線，所以消去，得，由題意知，所以，則，即點(diǎn)與重合，此時(shí)曲線和有且僅有一條公切線，且公切線方程為．（三）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題縱觀這幾年的高考，凡涉及到不等式證明的問題，其綜合性強(qiáng)、思維量大，因此歷來是高考的難點(diǎn)．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是利用不等式與函數(shù)之間的聯(lián)系，直接或間接等價(jià)變形后，結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)．通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算判斷出函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題．例6求證：不等式在上成立．證明構(gòu)造函數(shù)，則．得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，即成立．又?gòu)造函數(shù)，則．得知在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，即成立．綜上所述，原命題成立．（五）利用導(dǎo)數(shù)解決

6、實(shí)際問題利用導(dǎo)數(shù)，不僅可以解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列問題，而且還可以解決一些實(shí)際應(yīng)用問題．學(xué)習(xí)的最終目的，是要求學(xué)生具有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的意識(shí)、思想方法以及能力．近幾年，高考越來越注重對(duì)實(shí)際問題的考查，比如最優(yōu)化問題、最低成本問題等，而利用導(dǎo)數(shù)解決這些問題非常方便．例7.若電燈B可在桌面上一點(diǎn)O的垂線上移動(dòng)，桌面上有與點(diǎn)O距離為的另一點(diǎn)A，問電燈與點(diǎn)0的距離怎樣，可使點(diǎn)A處有最大的照度？（照度與成正比，與成反比）解：設(shè)到的距離為，則，于是，.當(dāng)時(shí)，即方程的根為（舍）與，在我們討論的半閉區(qū)間內(nèi)，所以函數(shù)在點(diǎn)取極大值，也是最大值。即當(dāng)電燈與點(diǎn)距離為時(shí)，點(diǎn)的照度為最大.（0，）+

7、-↗↘