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《利用Gamma函數(shù)求積分的幾種形式.pdf》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第１６卷第１期高等數(shù)學研究Ｖｏｌ．１６，Ｎｏ．１２０１３年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＪａｎ．，２０１３利用Ｇａｍｍａ函數(shù)求積分的幾種形式耿彥如（邢臺學院數(shù)學系，河北邢臺０５４００１）摘要借助冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的變量替換對Ｇａｍｍａ函數(shù)從形式上加以推廣，使Ｇａｍｍａ函數(shù)中指數(shù)函數(shù)部分為指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)或對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的復合函數(shù)時仍可求值，以擴大Ｇａｍｍａ函數(shù)的使用范圍．關鍵詞Ｅｕｌｅｒ積分；Ｇａｍｍａ函數(shù)；積分計算中圖分類號Ｏ１７４．６６文獻標識碼Ａ文章編號１００８－１３９９（２０１３）０１－００３６－０２０Ｇａｍｍａ函數(shù)是Ｅｕｌｅｒ積分
2、的一種形式，是以含ｓｎｓ－１－ｐｙｎΓ（ｓ）＝ｎｐｙｅｄｙ＝參量非正常積分表示的一種非初等函數(shù)［１］，記為∫＋∞＋∞ｎ＋∞ｓｎｓ－１－ｐｙｓ－１－ｘ－ｎｐｙｅｄｙ，Γ（ｓ）＝ｘｅｄｘ（ｓ＞０）．∫０∫０＋∞ｎｎｓ－１－ｐｙＧａｍｍａ函數(shù)Γ（ｓ）連續(xù)、可導，且滿足ｙｅｄｙ＝∫０Γ（ｓ＋１）＝ｓΓ（ｓ），１１－ｓΓ（ｓ）＝ｓΓ（ｓ）．Γ（１）＝１，Γ（１）＝槡π．ｎｐ｜ｎ｜ｐ２當ｓ＝ｍ（ｍ∈瓔＊）時，根據(jù)Ｇａｍｍａ函數(shù)的性一些非正常積分通過變量變換可轉化為Ｇａｍｍａ函２數(shù)，且當ｓ＝ｍ（ｍ∈瓔＊）時，其值一定可求出［１］．質，一定可解２＋∞ｍｎ－１ｎ１ｍ２－ｐｙ）．ｙｅｄｙ
3、＝ｍΓ（Γ（ｓ）形式單一使用范圍較窄．本文計劃通過變量代∫０２２｜ｎ｜ｐ換對Γ（ｓ）在形式上加以推廣，以擴大其應用范圍．＋∞７３－２ｙ例１ｙ２ｅｄｙ＝定理１若ｐ＞０，ｍ∈瓔＊，則有∫０＋∞ｍｎ－２ｎ＋∞３×３－２３１３２－ｐｙ１ｍ）．ｙ２ｅ－２ｙｄｙ＝Γ（）＝ｙｅｄｙ＝ｍΓ（３∫０｜ｎ｜ｐ２２∫０３×２２２證明不妨令槡２１１）＝槡２π×Γ（．ｘ＝ｐｙｎ，ｐ＞０，ｎ＞０，１２２２２４那么分別?。睿剑玻睿剑?，ｎ＝－２，ｎ＝－４，則由定＋∞理１可得以下推論．ｎｓ－１ｍｓ－ｎ－ｐｙｎ－１Г（ｓ）＝ｐｙｅｐｎｙｄｙ＝＊∫０推論１當ｐ＞０，ｍ∈瓔時，有＋∞ｎ＋∞２ｎｐｓｙｎｓ－
4、１ｅ－ｐｙｄｙ，ｍ－ｐｙ１ｍ＋１），ｙｅｄｙ＝ｍ＋１Γ（∫０∫０２ｐ２２所以＋∞２ｍ－１－ｐｙ４１ｍ＋∞ｎ１１ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），ｎｓ－１－ｐｙ∫０４ｐ２２ｙｅｄｙ＝ｓΓ（ｓ）＝ｓΓ（ｓ）．∫０ｎｐ｜ｎ｜ｐ＋∞－ｍ－１－ｐｙ－２１ｍ若令ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），∫０２ｐ２２ｎ，ｐ＞０，ｎ＜０，ｘ＝ｐｙ＋∞－２ｍ－１－ｐｙ－４１ｍ那么ｙｅｄｙ＝ｍΓ（），∫０４ｐ２２ｘ→０（ｙ→＋∞），ｘ→＋∞（ｙ→０），＋∞４例２７－２ｙ所以ｙｅｄｙ＝∫０１１１２Γ（２）＝Γ（１）＝，收稿日期：２０１０－０７－０７；修改日期：２０１２－０７－０４４×２１６１６作者簡介：耿彥如（１９６５－），
5、男，河北寧晉人，碩士，副教授，從事函數(shù)＋∞－２１１π－２－４ｙ）＝槡ｙｅｄｙ＝１Γ（．論及教學法研究．Ｅｍａｉｌ：ｘｔｇｙｒ＠１６３．ｃｏｍ∫０２×４２２４第１６卷第１期耿彥如：利用Ｇａｍｍａ函數(shù)求積分的幾種形式３７１（ｌｎｚ）ｓ－１令ｍｎ－２＝０，即?。睿剑?，則由定理１可得以－（－ｐ）ｓｄｚ（ｓ∈瓔＊）－ｐ＋１ｍ∫０ｚ下推論．再令ｑ＝（－ｐ）＋１，ｓ－１＝ｍ（ｍ∈瓔），由上式可推論２當ｐ＞０，ｎ＞０，ｍ∈瓔＊時，有得推論３成立．＋∞２１－ｐｙｍｍｍ）．例５（ｌｎｙ）２３ｅｄｙ＝ｍΓ（ｙｄｙ＝∫０２ｐ２２∫０＋∞－１１例３ｅ－３槡ｙｄｙ＝（－４）３Γ（３）＝．３２∫０
6、由推論３及對數(shù)的換底公式易得以下推論．４２２Γ（２）＝．２×３９推論４當ｑ＜１，ｍ∈瓔，ａ＞０，ａ≠１時，有定理２當ｑ＞１，ｍ∈瓕且ｍ＞－２時，有１（ｌｏｇ）ｍａｙ－１ｍｑｄｙ＝（ｑ－１）ｍ＋１（ｌｎａ）ｍΓ（ｍ＋１）．＋∞（ｌｎｙ）２∫０ｙ１ｍ＋２ｑｄｙ＝ｍ＋２Γ（）．利用對數(shù)的換底公式及定理２可得以下推論．∫１ｙ（ｑ－１）２２推論５當ｑ＞１，ｍ∈瓕且ｍ＞－２，ａ＞１時，有證明不妨令ｘ＝ｐｌｎｙ（ｐ＞０），那么ｍ＋∞＋∞（ｌｏｇ）２（ｐｌｎｙ）ｓ－１ｅ－ｐｌｎｙ１ｄｙ＝ａｙｄｙ＝Γ（ｓ）＝ｐｑ∫１ｙ∫１ｙ＋∞（ｌｎｙ）ｓ－１ｐｓｄｙ＝１Γ（ｍ＋２）．ｐ＋１ｍ＋２ｍ∫
7、１ｙ（ｑ－１）２（ｌｎａ）２２＋∞（ｌｎｙ）ｓ－１１３ｄｙ＝＋∞（ｌｏｇ１ｙ）ｐ＋１ｓΓ（ｓ）．例６２ｄｙ＝∫１ｙｐ２∫１ｙ再令ｐ＋１＝ｑ（ｑ＞１），ｓ－１＝ｍ（ｍ＞－２），即＋∞ｌｏｇ２ｙ）３－１－６２２ｄｙ＝（ｌｎ２）３Γ（４）＝（ｌｎ２）３．∫１ｙ得定理成立．在定理２中取ｍ＝２ｋ（ｋ∈瓔），ｑ＞１，并利用對１＋∞（ｌｎｙ）２例４ｄｙ＝數(shù)的換底公式，可得如下推論．３∫１ｙ推論６當ｑ＞１，ｍ∈瓔，０＜ａ＜１時，有１３２１１槡２π＋∞（ｌｏｇ）ｍ３Γ（）＝槡×Γ（）＝．ａｙｄｙ＝１２２２４２２８ｑ（ｑ－１）ｍ＋１（ｌｎａ）ｍΓ（ｍ＋１）．∫１ｙ推論３
