湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應性練習卷(三)數學(xué) Word版含解析.docx

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湖南省衡陽(yáng)市第八中學(xué)2024屆高三下學(xué)期高考適應性練習卷(三)數學(xué)試題(考試時(shí)間:120分鐘試卷滿(mǎn)分:150分)一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合,則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合B,進(jìn)行交集運算.【詳解】且.故.故選:C.2.設,則“”是“”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據復數模的計算公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可【詳解】由題意得,所以,因為,所以,解得或,故“”是“”的充分不必要條件.故選:A3.已知與為兩個(gè)不共線(xiàn)的單位向量,則()第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 A.B.C.若,則D.若,則【答案】D【解析】【分析】根據向量共線(xiàn)和向量數量積的定義,向量垂直,向量的模以及向量夾角公式判斷即可.【詳解】選項A:若,則,即,與與為兩個(gè)不共線(xiàn)的單位向量矛盾,故選項A說(shuō)法錯誤;選項B:設與的夾角為,則,,所以,故選項B說(shuō)法錯誤;選項C:若,則,所以,,即,所以,又,所以,故選項C說(shuō)法錯誤;選項D:因為,,所以,化簡(jiǎn)得,設與的夾角為,則,,所以,所以,即,所以,故選項D說(shuō)法正確;故選:D4.已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn):的圖象相切,則的焦點(diǎn)坐標為()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程,利用相切有求得,從而得解.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【詳解】依題意,聯(lián)立,消去,得,則,因為,所以,故拋物線(xiàn)方程為,則其焦點(diǎn)坐標為.故選:C.5.若,則()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】應用對數運算性質(zhì)及基本不等式判斷各式的大小關(guān)系.【詳解】由,而,則,所以,即,由,則,即,綜上,.故選:D6.設數列的前項之積為,滿(mǎn)足(),則()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知遞推式可得數列是等差數列,從而可得,進(jìn)而可得的值.【詳解】因為,所以,即,所以,所以,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 所以,所以數列是首項為,公差為2的等差數列,所以,即,所以.故選:C.7.已知函數滿(mǎn)足,則下列結論一定正確的是()A.是奇函數B.是奇函數C.是奇函數D.是奇函數【答案】B【解析】【分析】利用賦值法推得,從而得到的對稱(chēng)性,再利用函數圖象平移的性質(zhì)可判斷B,舉反例排除ACD,由此得解.【詳解】因為,令,可得,則;令,則,故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱(chēng),則的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱(chēng),即是奇函數,故B正確;對于C,令,可得,則,當時(shí),,此時(shí)不可能是奇函數,由于無(wú)法確定的值,故不一定是奇函數,故C錯誤;對于A(yíng)D,取,滿(mǎn)足題意,但易知D錯誤;故選:B.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 8.已知函數在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),且,則圖象的一條對稱(chēng)軸是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由函數的零點(diǎn)情況,求出的取值范圍,再利用給定等式分析判斷函數圖象的對稱(chēng)軸即可得解.【詳解】由函數在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),得,解得,則,又,而,當時(shí),,,由,得,當時(shí),,即函數在有3個(gè)零點(diǎn),不符合題意,因此是函數圖象的一條對稱(chēng)軸,即,解得,當時(shí),,當時(shí),,均不符合題意;當時(shí),,得,則圖象的對稱(chēng)軸為.故選:C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:涉及三角函數在指定區間上的零點(diǎn)個(gè)數求參數范圍,利用五點(diǎn)法作圖思想分析周期情況是解題的關(guān)鍵.二、多項選擇題(本大題共3個(gè)小題,每小題6分,共18分,在每個(gè)給出的四個(gè)選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.下列命題正確的是()A.已知,若,則B.若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線(xiàn)上,則決定系數C.數據的均值為4,標準差為1,則這組數據中沒(méi)有大于5的數D.數據的75百分位數為47【答案】ABD第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【解析】【分析】對于A(yíng):利用正態(tài)分布的對稱(chēng)性判斷;對于B:根據相關(guān)的概念判斷;對于C:舉反例說(shuō)明;對于D:直接求75百分位數.【詳解】對于A(yíng):已知,若,則,A正確;對于B:若散點(diǎn)圖的散點(diǎn)均落在一條斜率非0的直線(xiàn)上,則變量與變量之間滿(mǎn)足線(xiàn)性函數關(guān)系,則決定系數,B正確;對于C:不妨設,則,解得,此時(shí),故找到一組數,數據中有大于5的數,C錯誤;對于D:,故這組數據的75百分位數為47,D正確.故選:ABD.10.已知函數與,記,其中,且.下列說(shuō)法正確的是()A.一定為周期函數B.若,則在上總有零點(diǎn)C.可能為偶函數D.在區間上的圖象過(guò)3個(gè)定點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對于A(yíng):計算,化簡(jiǎn)即可;對于B:求出,然后計算的正負即可;對于C:計算是否恒相等即可;對于D:令,求解即可.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【詳解】對于A(yíng),,,A正確;對于B,,則,,因為,即,同號,所以,由零點(diǎn)存在定理知在上總有零點(diǎn),故B正確;對于C,,,由得對恒成立,則與題意不符,故C錯誤;對于D,令,則,即,,故所有定點(diǎn)坐標為,,,,又因為,所以函數過(guò)定點(diǎn),,,故D正確;故選:ABD.11.對于棱長(cháng)為1(單位:)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計),下列說(shuō)法正確的是()A.底面半徑為,高為的圓錐形罩子(無(wú)底面)能夠罩住水平放置的該正方體B.以該正方體的三條棱作為圓錐的母線(xiàn),則此圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的正切值為第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 C.該正方體內能同時(shí)整體放入兩個(gè)底面半徑為,高為圓錐D.該正方體內能整體放入一個(gè)體積為的圓錐【答案】BCD【解析】【分析】對于A(yíng),若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體,考慮圓錐的軸截面,求出底面圓的最小半徑即可判斷;對于B,原問(wèn)題等價(jià)于求與平面所成角的正切值,利用等體積法求高,結合勾股定理、正切定義即可驗算;對于C,以矩形的中心為圓錐底面圓圓心,半徑為0.5,求出圓錐的最大高度即可判斷;對于D,以正方體的體對角線(xiàn)作為圓錐的軸,為圓錐頂點(diǎn),為圓錐底面圓的直徑時(shí),圓錐的體積大于,由此即可判斷.【詳解】對于A(yíng),若高為的圓錐形罩子剛能覆蓋水平放置的正方體,考慮圓錐的軸截面,如圖,,因為,所以,所以,圓錐底面圓半徑最小為,A錯誤;對于B,如圖,以,,三條棱作為圓錐母線(xiàn),底面所在平面為平面,等價(jià)于求與平面所成角的正切值,因為,所以,所以點(diǎn)到平面的距離為,則此圓錐的母線(xiàn)與底面所成角的正切值為,B正確;第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 對于C,如圖,以矩形的中心為圓錐底面圓圓心,半徑為0.5,分別以,的中點(diǎn),為兩個(gè)圓錐的頂點(diǎn),每個(gè)圓錐高的最大值為,C正確;對于D,如圖,的中點(diǎn)作垂線(xiàn),分別交,于點(diǎn),,則,以正方體的體對角線(xiàn)作為圓錐的軸,為圓錐頂點(diǎn),為圓錐底面圓的直徑時(shí),該圓錐的體積為,D正確.事實(shí)上,以正方體的體對角線(xiàn)作為軸,為頂點(diǎn)的圓錐的體積最大值,顯然底面圓心在線(xiàn)段上(不含點(diǎn)),設,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 當與為的四等分點(diǎn))重合時(shí),,因此,因為,所以,則,圓錐體積,在上恒成立,所以在上單調遞增,體積的最大值為,D正確.故選:BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:判斷C選項的關(guān)鍵是以矩形的中心為圓錐底面圓圓心,半徑為0.5,算出圓錐的最大高度,由此即可順利得解.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.展開(kāi)式的常數項為_(kāi)_____.【答案】48【解析】【分析】根據題意結合二項式定理分析求解.【詳解】因為的展開(kāi)式的通項公式為,所以展開(kāi)式的常數項為.故答案為:48.13.在平面直角坐標系中,雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)交于第一象限內的點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)F且平行于OA的直線(xiàn)交另一條漸近線(xiàn)于點(diǎn)B,若,則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)___________.【答案】第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【解析】【分析】設雙曲線(xiàn)半焦距為,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,則,設直線(xiàn)的方程為,然后直線(xiàn)的方程和另一漸近線(xiàn)方程聯(lián)立,求出點(diǎn),從而可求出直線(xiàn)的斜率,再由,可得兩直線(xiàn)的斜率乘積為,從而得,進(jìn)而可求出雙曲線(xiàn)的離心率【詳解】解:設雙曲線(xiàn)半焦距為,雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為,則,設直線(xiàn)的方程為,由,得,所以,所以直線(xiàn)的斜率為,因為,所以,所以,所以雙曲線(xiàn)離心率為,故答案為:【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,考查求雙曲線(xiàn)的離心率的方法,解題的關(guān)鍵是靈活運用雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì),考查計算能力,屬于中檔題14.若函數()有2個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數的取值范圍是______.【答案】【解析】第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【分析】化簡(jiǎn)函數,得到和在上單增,結合存在唯一的,使,即,且存在唯一的,使,結合,進(jìn)而得到實(shí)數的取值范圍.【詳解】由函數,設,可得,單調遞增,且,,所以存在唯一的,使,即,令,即,設,可得,則在上單增,又由且時(shí),,所以當時(shí),存在唯一的,使,即,若時(shí),可得,則,可得,所以,所以,綜上所述,實(shí)數的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】方法技巧:已知函數零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數,求參數的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法:1、直接法,直接根據題設條件構建關(guān)于參數的不等式(組),再通過(guò)解不等式(組)確定參數的取值范圍2、分離參數法,先分離參數,將問(wèn)題轉化成求函數值域問(wèn)題加以解決;3、數形結合法,先對解析式變形,在同一平面直角坐標系中作出函數的圖象,然后數形結合求解.結論拓展:與和相關(guān)的常見(jiàn)同構模型①,構造函數或;②,構造函數或;第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 ③,構造函數或.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖,在直三棱柱形木料中,為上底面上一點(diǎn).(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)在上底面上畫(huà)一條直線(xiàn)與垂直,應該如何畫(huà)線(xiàn),請說(shuō)明理由;(2)若,,,為的中點(diǎn),求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2).【解析】【分析】(1)連結BD,在平面ABC上作,由為直三棱柱,證明平面,進(jìn)而得到;(2)分別以所在直線(xiàn)為軸建立空向直角坐標系,寫(xiě)出的坐標,設平面的法向量,求出到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】連結,在平面上作,因為為直三棱柱,所以平面,因為平面,所以,因為,,,,平面,所以平面,因為平面,所以.【小問(wèn)2詳解】第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 因為,所以,,兩兩互相垂直,以為原點(diǎn),分別以,,所在直線(xiàn)為,,軸建立空向直角坐標系,,,,,則,,.設平面的一個(gè)法向量為,因為,,所以,,則,取,則,設點(diǎn)到平面的距離為,則因此點(diǎn)到平面的距離為.16.聯(lián)合國將每年的4月20日定為“聯(lián)合國中文日”,以紀念“中華文字始祖”倉頡[jié]造字的貢獻,促進(jìn)聯(lián)合國六種官方語(yǔ)言平等使用,為宣傳“聯(lián)合國中文日”,某大學(xué)面向在校留學(xué)生舉辦中文知識競賽,競賽分為“個(gè)人賽”和“對抗賽”,競賽規則如下:①個(gè)人賽規則:每位留學(xué)生需要從“拼音類(lèi)”、“成語(yǔ)類(lèi)”、“文化類(lèi)”三類(lèi)問(wèn)題中隨機選1道試題作答,其中“拼音類(lèi)”有4道,“成語(yǔ)類(lèi)”有6道,“文化類(lèi)”有8道,若答對將獲得一份獎品.②對抗賽規則:兩位留學(xué)生進(jìn)行答題比賽,每輪只有1道題目,比賽時(shí)兩位參賽者同時(shí)回答這一個(gè)問(wèn)題,若一人答對且另一人答錯,則答對者獲得1分,答錯者得分;若兩人都答對或都答錯,則兩人均得0分,對抗賽共設3輪,累計得分為正者將獲得一份獎品,且兩位參賽者答對與否互不影響,每次答題的結果也互不影響.(1)留學(xué)生甲參加個(gè)人賽,根據以往答題經(jīng)驗,留學(xué)生甲答對“拼音類(lèi)”、“成語(yǔ)類(lèi)”“文化類(lèi)”的概率分別為,,,求留學(xué)生甲答對了所選試題的概率.(2)第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 留學(xué)生乙和留學(xué)生內參加對抗賽,根據以往答題經(jīng)驗,每道題留學(xué)生乙和留學(xué)生丙答對的概率分別為,,求留學(xué)生乙獲得獎品的概率.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)設甲選1道“拼音類(lèi)”試題為事件,選1道“成語(yǔ)類(lèi)”試題為事件,選1道“文化類(lèi)”試題為事件,答對試題為事件,結合條件概率和全概率公式,即可求解;(2)根據題意,利用獨立事件的概率乘法公式和獨立重復試驗的概率公式求得相應的概率,結合互斥事件的概率加法,即可求解.【小問(wèn)1詳解】解:設留學(xué)生甲選1道“拼音類(lèi)”試題為事件,選1道“成語(yǔ)類(lèi)”試題為事件,選1道“文化類(lèi)”試題為事件,答對試題為事件,則,,,,所以.【小問(wèn)2詳解】解:每一輪中留學(xué)生乙得1分的概率為,每一輪中留學(xué)生乙得0分的概率為,每一輪中留學(xué)生乙得的概率為,在3輪比賽后,留學(xué)生乙得3分的概率為,在3輪比賽后,留學(xué)生乙得2分的概率為,在3輪比賽后,留學(xué)生乙得1分的概率為,所以乙最終獲得獎品的概率為.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 17.在中,,,分別是角,,所對的邊,點(diǎn)在邊上,且滿(mǎn)足,.(1)求的值;(2)若,求.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理的邊角變換得到,再利用三角恒等變換得到,從而利用余弦定理列出關(guān)系式即可得解.(2)在中,確定三邊的長(cháng)度關(guān)系,利用余弦定理可求,再利用同角三角函數的關(guān)系求.【小問(wèn)1詳解】如圖,在中,由正弦定理知,所以,所以,因為,所以,則①,由,則,因為,所以,則,在中,由余弦定理知,則②,由①②得,.【小問(wèn)2詳解】因為,所以,,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 在中,由余弦定理知同理在中,,因為,所以,則,由(1)知,,所以,中,由余弦定理知,所以.18.已知數列滿(mǎn)足,,且.(1)證明為等比數列,并求數列的通項公式;(2)設,且數列的前項和為,證明:當時(shí),.【答案】(1)證明見(jiàn)解析,(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)利用等比數列的定義證明數列是等比數列.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 (2)先把數列進(jìn)行適當的放縮,再用分組求和的方法求滿(mǎn)足的關(guān)系,并證明.【小問(wèn)1詳解】因為,,所以,,.易知,所以,因為.所以等比數列,首項,公比,所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)可得,先證明左邊:即證明,當時(shí),,所以,所以,再證明右邊:,因為,所以,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 即,下面證明,即證,即證,設,,則,設,,因為,所以函數在上單調遞增,則,即,,所以,所以.綜上,.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:數列不等式證明方法主要有:(1)作差比較法:不等式兩邊作差與0比較大小.(2)放縮比較法:對表達式適當放縮,證出不等式.19.已知以下事實(shí):反比例函數()的圖象是雙曲線(xiàn),兩條坐標軸是其兩條漸近線(xiàn).(1)(?。┲苯訉?xiě)出函數的圖象的實(shí)軸長(cháng);(ⅱ)將曲線(xiàn)繞原點(diǎn)順時(shí)針轉,得到曲線(xiàn),直接寫(xiě)出曲線(xiàn)的方程.(2)已知點(diǎn)是曲線(xiàn)的左頂點(diǎn).圓:()與直線(xiàn):交于、兩點(diǎn),直線(xiàn)、分別與雙曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn).試問(wèn):點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離是否存在最大值?若存在,求出此最大值以及此時(shí)的值;若不存在,說(shuō)明理由.【答案】(1)(?。?;(ⅱ).(2)存在,點(diǎn)A到直線(xiàn)距離的最大值為2,.【解析】【分析】(1)由題意結合雙曲線(xiàn)的性質(zhì),即可求得答案;(2)方法一:設,,,設:第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 ,聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程,可得根與系數的關(guān)系式,進(jìn)而求出兩點(diǎn)的縱坐標,結合,即可求得參數之間的關(guān)系,代入,即可求得答案;方法二:設,,,,,利用,的方程求出,,的表達式,即可得的坐標,從而求出的方程,可推出過(guò)定點(diǎn),即可求得答案;方法三:設,,,,,可得,設:,聯(lián)立雙曲線(xiàn)方程化簡(jiǎn)得出,變形后利用根與系數的關(guān)系可得出,求出n,即可推出過(guò)定點(diǎn),即可求得答案..【小問(wèn)1詳解】(?。┯深}意可知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸在上,聯(lián)立,解得或,即雙曲線(xiàn)的兩頂點(diǎn)為,故實(shí)軸長(cháng)為;(ⅱ)將曲線(xiàn)繞原點(diǎn)順時(shí)針轉,得到曲線(xiàn),曲線(xiàn)的方程為;【小問(wèn)2詳解】方法一:設,,,顯然直線(xiàn)的斜率存在,設:,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 聯(lián)立:得,所以,,①,因為:,令,則,同理,,②依題意得,③由①②③得,,所以,即或,若,則:過(guò)點(diǎn)A,不合題意;若,則:.所以,恒過(guò),所以,.當且僅當,即時(shí)取得,此時(shí)方程為,結合,解得,,,綜上所述,點(diǎn)A到直線(xiàn)距離的最大值為2,此時(shí)圓的半徑為;方法二:設,,,,,則:,:,聯(lián)立,得,為此方程的一根,另外一根為,則,代入方程得,,同理可得,,即,,第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 則,所以直線(xiàn)的方程為,所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),所以.當且僅當,即時(shí)取得,解得,綜上所述,點(diǎn)A到直線(xiàn)距離的最大值為2,此時(shí)圓的半徑為;方法三:設,,,,,則,依題意,直線(xiàn)不過(guò)點(diǎn)A,可設:,曲線(xiàn)的方程改寫(xiě)為,即,聯(lián)立直線(xiàn)的方程得,所以,若,則,代入直線(xiàn)方程,無(wú)解;故,兩邊同時(shí)除以得,則,得,在直線(xiàn):中,令,則,所以,恒過(guò),所以,,當且僅當,即時(shí)取得,此時(shí),符合題意,且方程為,解得,,,綜上所述,點(diǎn)A到直線(xiàn)距離的最大值為2,此時(shí)圓的半徑為.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司 【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查雙曲線(xiàn)方程的求解以及直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)位置關(guān)系的應用,其中的難點(diǎn)是求解最值問(wèn)題,解答時(shí)要注意利用直線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)方程的聯(lián)立,利用根與系數的關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn),難點(diǎn)就在于化簡(jiǎn)的過(guò)程十分復雜,計算量大,并且基本上都是有關(guān)字母參數的運算,需要有較強的計算能力.第23頁(yè)/共23頁(yè)學(xué)科網(wǎng)(北京)股份有限公司

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