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1、天津城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報(bào)第15卷第3期2009年9月JournalofTianjinInstituteofUrbanConstructionVol.15No.3Sep.2009能源與機(jī)械$系統(tǒng)穩(wěn)定性的勞斯判據(jù)與赫爾維茨判據(jù)的等價(jià)性論證李從清(天津城市建設(shè)學(xué)院能源與機(jī)械工程系，天津300384)摘要：采用李雅普諾夫第二法和線性定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理，對(duì)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行了數(shù)學(xué)證明；從勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的充分必要條件出發(fā)，對(duì)它們的等價(jià)性進(jìn)行了論證．關(guān)鍵詞：勞斯判據(jù)；赫爾維茨判據(jù)；李雅普諾夫穩(wěn)定性中圖分類號(hào)：T
2、P13；O231文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1006-6853(2009)03-0207-04線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是其全部特步驟如下.征根均具有負(fù)實(shí)部．判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需解出(1)將給定的描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的高階齊次微分方程系統(tǒng)的全部特征根，看這些根是否均具有負(fù)實(shí)部．但變換為齊次狀態(tài)方程.對(duì)于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，因此希望使用一(2)給定對(duì)稱正定(或非負(fù)定)矩陣Q，根據(jù)式(1)種間接判斷系統(tǒng)特征根是否全部嚴(yán)格位于s左半平求出相應(yīng)的矩陣P.面的代替方法．勞斯和赫爾維茨分別于1877年和(3)由要求矩陣P為正定的條件證
3、明赫爾維茨穩(wěn)1895年獨(dú)立提出了判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，稱定判據(jù)．為勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)．勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定判設(shè)在輸入信號(hào)為零的情況下，系統(tǒng)的齊次微分方[1-4]據(jù)在一些文獻(xiàn)中只給出了結(jié)論性的穩(wěn)定判據(jù)條程為件，而對(duì)于穩(wěn)定判據(jù)條件沒(méi)有給予證明．筆者首先用nn?1ddxxdx++aa++ax=0(3)[5]nn11?1nn?李雅普諾夫第二法對(duì)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)ddttdt證明，然后對(duì)勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的等式(3)的系數(shù)行列式為a100000價(jià)性進(jìn)行了論證．1aaa1000321aaaaa0054321
4、1赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)證明Δn=00000a0n?1用李雅普諾夫第二法證明赫爾維茨穩(wěn)定性判000000an據(jù)．設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為根據(jù)赫爾維茨判據(jù)，上述系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要x=Ax(1)條件是，其各階子行列式滿足下列條件x=0為其平衡狀態(tài)．eΔ=a＞011根據(jù)李雅普諾夫第二法，此平衡狀態(tài)大范圍漸a11Δ=>0近穩(wěn)定的充分和必要條件是對(duì)于任意給定的對(duì)稱正2aa32定矩陣Q，都存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，使得a101TAP+PA=Q-(2)Δ=>aaa03321T而Vx()=xPx為所選定的李雅普諾夫函數(shù)
5、．a(chǎn)aa543若給定的Q為非負(fù)定的，則要求V(x)在沿任一零輸入響應(yīng)的軌跡上不恒等于零．Δ>0n用李雅普諾夫第二法證明赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的為了證明赫爾維茨判據(jù)，首先將系統(tǒng)的高階微分收稿日期：2009-03-04；修訂日期：2009-06-03作者簡(jiǎn)介：李從清（1962—），男，天津人，天津城市建設(shè)學(xué)院副教授.208天津城市建設(shè)學(xué)院學(xué)報(bào)2009年第15卷第3期方程寫(xiě)成狀態(tài)方程的形式．Δ33ab==3選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量為ΔΔ12a1x=[]xxxT將b1，b2和b3代入式(6)，即可得到原來(lái)系統(tǒng)的12n微分方程．令x1=x，
6、則式(2)等價(jià)于下列狀態(tài)方程x=Ax其次，應(yīng)給定矩陣Q，并根據(jù)式(2)去求矩陣P．式中?000?????0100000=??設(shè)Q(7)???b010000?000???n??2??01?bn?1000?00?2b1?A=??(4)??這是一個(gè)對(duì)稱非負(fù)定矩陣，由此可知李雅普諾夫函數(shù)??0000001的導(dǎo)數(shù)為??????00000??bbVb=xQx-T=?222x211n此矩陣的特點(diǎn)是，在主對(duì)角線上除了最后的一個(gè)只要x1，x2，…，xn不全都為零，則xn≠0，于是元素為－b1外，其余
7、各元素均為零．主對(duì)角線以上各Vx()不可能恒為零．所以按式(4)選定的矩陣Q是合元素均為1．主對(duì)角線以下各元素從第二行開(kāi)始依次理的．－bn，－bn-1，…，－b2．矩陣中bi與系統(tǒng)原來(lái)的高階微再假設(shè)矩陣P是對(duì)角線矩陣分方程的各階系數(shù)子行列式的關(guān)系為?pn000?Δa?00p0?ba==Δ；ba==?23；?n?1?11122Δ11aP=??(8)??b==Δ33a；b=ΔΔ14；?00p20?34ΔΔ21a1ΔΔ32??000p1??將式(4)、式(7)、式(8)代入式(2)，即可得ΔΔb=ii?3?bb
8、n21b000?iΔΔ??ii??1200bbb0?n?121?為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，現(xiàn)以三階系統(tǒng)為例證實(shí)以上關(guān)P=????系．三階系統(tǒng)的齊次微分方程為00bb0?21?ddd32xxx?000b?+++aaax=0(5)?1?32123ddttdt最后檢驗(yàn)矩陣
