分形幾何論文分形論文

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1、分形幾何論文分形論文古琴音樂(lè)中的分形幾何內(nèi)容摘要：傳統(tǒng)的音樂(lè)研究，特別是民族音樂(lè)研究，絕大部分都側(cè)重于音樂(lè)的藝術(shù)性角度（音樂(lè)的社會(huì)屬性），鮮見(jiàn)有從音樂(lè)的科學(xué)性角度（音樂(lè)的自然屬性）進(jìn)行研究的。但是，近年來(lái)隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，這一狀況正在逐步得到改觀。本文使用分形幾何的方法，對(duì)古琴音樂(lè)作品進(jìn)行了分析研究，證明了古琴音樂(lè)的旋律是分形的，并且對(duì)古琴音樂(lè)作品與西方古典音樂(lè)作品的異同進(jìn)行了初步的比較分析，揭示出不同時(shí)空、不同歷史文化背景下音樂(lè)的共同特征——分形性?！　￡P(guān)鍵詞：古琴音樂(lè)　分形幾何　音樂(lè)研究　方法　科學(xué)　分形音樂(lè)　　一、引言　　在我國(guó)傳統(tǒng)音樂(lè)中，

2、古琴是最古老的弦樂(lè)器之一?！稑?lè)記》有“昔者舜作五弦之琴，以歌南風(fēng)”之說(shuō)。清代著名琴家徐祺在《五知齋琴譜》中寫(xiě)道：“昔者伏曦之王天下也。仰觀俯察，感榮河出圖，以畫(huà)八卦，聽(tīng)八風(fēng)以制音律，采峰山孤桐，合陰備陽(yáng)，造為雅樂(lè)，名之曰琴?！绷硗庖灿腥苏f(shuō)古琴是神農(nóng)或堯帝等創(chuàng)制的。這些雖出自傳說(shuō)，無(wú)文字記載或?qū)崜?jù)可考，但在安陽(yáng)殷墟墓葬中出土的文物中有兩件像琴的石器，且甲骨文中把音樂(lè)的樂(lè)字記為“”，這是以絲弦張附在木器上的象形，由此說(shuō)明在殷商時(shí)代（即甲骨文產(chǎn)生之際）就已有了琴這一類樂(lè)器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴應(yīng)產(chǎn)生于殷商之際甚或在此之前，即古琴已存在三千多年

3、了?！　?duì)于這樣一件產(chǎn)生于史前，而且?guī)缀跬暾蛔兊亓鱾髦两竦臉?lè)器，不僅在中國(guó)，即便是在全世界范圍也難以再找到第二個(gè)！因此，對(duì)古琴尤其是古琴音樂(lè)進(jìn)行詳細(xì)的考察與研究，不僅能夠揭示我國(guó)古代音樂(lè)的發(fā)展變化情況，而且亦可從中透視出我國(guó)古代社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)和科技的發(fā)展與變化[2][3][4]?！　?duì)音樂(lè)進(jìn)行研究，當(dāng)今占據(jù)主導(dǎo)地位的有三種方法，即歷史的方法、分析的方法和比較的方法[5]。這三種方法在音樂(lè)研究中已經(jīng)取得了輝煌的成就，而且仍還有著非常廣闊的前景。但是，它們各自的研究范圍都比較狹小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一時(shí)期的作品，或某一地域(或西方或東

4、方或非洲或拉美)的作品，而不能從整體上研究范圍更廣的音樂(lè)現(xiàn)象。眾所周知，無(wú)論古今，不分地域，任何地方只要有人，就會(huì)有音樂(lè)，這就說(shuō)明音樂(lè)必定有著某種屬性，它是一種與時(shí)空無(wú)關(guān)的非民族性的屬性，即音樂(lè)的自然屬性?？蛇@種自然屬性究竟是什么呢？怎樣才能將它表示出來(lái)呢？我們認(rèn)為，分形幾何為這一問(wèn)題的解答提供了一種可能[6][7]?！　《?、分形幾何與音樂(lè)　　分形幾何[8]的概念是由曼得勃羅在上世紀(jì)60年代末提出來(lái)的。它的主要思想是說(shuō)，在不規(guī)則現(xiàn)象表面所呈現(xiàn)的雜亂無(wú)章的背后仍存在著規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是在放大過(guò)程中呈現(xiàn)出的自相似性。　　在自然界中，分形現(xiàn)象普遍存在，俯拾即

5、得。如：微觀世界中晶體的生長(zhǎng)，相變過(guò)程和化學(xué)反應(yīng)等；宇觀世界中太陽(yáng)黑子的活動(dòng)和星際空間物質(zhì)的分布等；宏觀世界中河流的走向，樹(shù)枝的分叉以及地震震級(jí)的分布等；就連我們?nèi)梭w血液循環(huán)系統(tǒng)中血管的分支和腦電波分布都是分形的。也就是說(shuō)，自然界似乎存在著“分形者生存”這一規(guī)律?！　〖热晃覀冑囈陨娴倪@個(gè)世界到處都充滿著分形，既然我們的血管分支和腦電波都是分形的，因而想必在我們的潛意識(shí)中(或者是本能地)對(duì)分形現(xiàn)象定會(huì)有著某種默契或產(chǎn)生共鳴，或者說(shuō)我們?nèi)艘财珢?ài)分形，正是這種偏愛(ài)形成了音樂(lè)創(chuàng)作與欣賞在主體心理與對(duì)象間的鎖定。沃斯和科拉克[6]等人首先從實(shí)驗(yàn)上證明了這一點(diǎn)，

6、他們發(fā)現(xiàn)優(yōu)美動(dòng)聽(tīng)的音樂(lè)的音量是分形的，后來(lái)許氏父子（許靖華和安得魯·許）[7]又從理論上證明了古典音樂(lè)中旋律的進(jìn)行也是分形的?！　∪⒐徘僖魳?lè)中的分形幾何　　為了研究音樂(lè)的分形幾何，首先必須把它加以量化，因此撇開(kāi)音樂(lè)的社會(huì)學(xué)定義不講，現(xiàn)在我們從數(shù)學(xué)上給它下一個(gè)定義：音樂(lè)是具有不同音高（頻率）的音的一種有序排列。既然如此，那么這種有序的數(shù)學(xué)表達(dá)是什么？隨意地敲擊琴鍵不會(huì)產(chǎn)生音樂(lè)，不同音的有序排列組成了旋律，這種排列是分形的嗎？如果答案是肯定的話，那么在一首音樂(lè)作品中兩相鄰音之間的音程i與其出現(xiàn)的幾率F應(yīng)滿足下述關(guān)系：　　F=C/iD或logF=C’-Dl

7、ogi　　即音程i的對(duì)數(shù)與其出現(xiàn)幾率F的對(duì)數(shù)之間存在線性關(guān)系,也就是說(shuō)以logF和logi為縱橫坐標(biāo)作圖,則各點(diǎn)均應(yīng)在同一直線上。其中D為該作品的分形維數(shù)(分維)，C為比例系數(shù)，C’=logC?！　≡S氏父子通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)[8]，對(duì)于巴赫和莫扎特等古典音樂(lè)大師的作品，上述分形關(guān)系式均可確立，但對(duì)于現(xiàn)代無(wú)調(diào)性音樂(lè)作品，則無(wú)此種關(guān)系。為了對(duì)我國(guó)古代音樂(lè)進(jìn)行深入的理解與研究，為了對(duì)東西方音樂(lè)的異同進(jìn)行比較，下面我們也將使用這一方案對(duì)我國(guó)古琴音樂(lè)進(jìn)行分析?！　∈紫冗x取《古逸叢書(shū)》中管平湖打譜的《幽蘭》[9]進(jìn)行分析。對(duì)該曲中音程i及其出現(xiàn)幾率的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：　　

8、將音程i及其出現(xiàn)概率F分別取對(duì)數(shù)對(duì)應(yīng)作圖可以看到（圖1A），在區(qū)間2≤i≤11，存在分形關(guān)系：