復(fù)變函數(shù)與積分變換

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1、目錄第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)………………………………1第二章解析函數(shù)………………………………………3第三章復(fù)變函數(shù)的積分………………………………5第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示…………………………6第五章留數(shù)及其應(yīng)用…………………………………8第八章傅里葉變換……………………………………9第九章拉普拉斯變換………………………………10第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1．復(fù)數(shù)的基本概念：復(fù)數(shù)：，稱(chēng)為復(fù)數(shù)單位，并規(guī)定，與是任意實(shí)數(shù)，依次稱(chēng)為的實(shí)部與虛部，分別表示為。2．共軛復(fù)數(shù)：設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱(chēng)為的共軛復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：①②③④⑤⑥3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，是兩

2、個(gè)復(fù)數(shù)，則：①加（減）法：②乘法：10③除法：4．復(fù)數(shù)的模與輻角：如果是一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)，我們把它所對(duì)應(yīng)向量的長(zhǎng)度叫做的模，記作；把它所對(duì)應(yīng)向量的方向角叫做輻角。用記號(hào)Arg作為的輻角的一般表示，再用arg表示的輻角中介于與之間（包括）的那一個(gè)角，并把它稱(chēng)為的主輻角，即

3、法：8．復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方：設(shè)是一個(gè)復(fù)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù)，則：①②設(shè)，則復(fù)數(shù)開(kāi)方有：9．平面曲線：以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，以為半徑的圓周，寫(xiě)成復(fù)數(shù)的形式為：10．復(fù)變函數(shù)：設(shè)是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于中任意的一點(diǎn)，有確定的（一個(gè)或多個(gè)）復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)，則說(shuō)在上定義了一個(gè)復(fù)變函數(shù)，記作。11．復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性：①設(shè)函數(shù)，則的充要條件是，10②函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是與在處連續(xù)12．在有界閉區(qū)域上的復(fù)連續(xù)函數(shù)，具有下列幾個(gè)性質(zhì)：①有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)是有界的②有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，在上其模至少取得最大值與最小值各一次③有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)

4、，在上是一致連續(xù)的第二章解析函數(shù)1．復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2．解析函數(shù)：如果在及的領(lǐng)域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱(chēng)在處解析;如果在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱(chēng)在內(nèi)解析,或說(shuō)是內(nèi)的解析函數(shù);如果在處不解析,則稱(chēng)為的奇點(diǎn)。３．函數(shù)在一點(diǎn)處解析，則一定在該點(diǎn)可導(dǎo)，但反過(guò)來(lái)不一定成立；函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)是等價(jià)的。４．解析函數(shù)的求導(dǎo)法則：（１）四則運(yùn)算法則：設(shè)和都是區(qū)域上的解析函數(shù)，則：①　　　　②③（２）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：設(shè)，則有：５．函數(shù)解析的充分必要條件：函數(shù)在處可導(dǎo)的充分必要條件是在點(diǎn)出可微，且滿(mǎn)足柯西－黎曼方程（Ｃ－Ｒ方程）：10６．調(diào)和函數(shù)：

5、如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足二維拉普拉斯方程，則稱(chēng)為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。７．定理：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，則的實(shí)部和虛部都是區(qū)域內(nèi)得調(diào)和函數(shù)。８．對(duì)于函數(shù)，其中的和的求法：　?。梗醯群瘮?shù)：（１）指數(shù)函數(shù)：對(duì)于復(fù)數(shù)，稱(chēng)為指數(shù)函數(shù)。歐拉公式：性質(zhì)：①　　　②設(shè)，，則　　　③是以為周期的函數(shù)，即：　　?、軓?fù)變量指數(shù)函數(shù)當(dāng)趨向于時(shí)沒(méi)有極限（２）對(duì)數(shù)函數(shù)：，令，則：性質(zhì)：①運(yùn)算性質(zhì)：，　　　②解析性：的各分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析，且有相同的導(dǎo)數(shù)值。（３）冪函數(shù)：（為復(fù)常數(shù)，）性質(zhì)：①當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，是一個(gè)單值函數(shù)　　　②當(dāng)

6、為零時(shí)，　　　③當(dāng)為有理數(shù)（與為互質(zhì)的整數(shù)，）時(shí)，　　?、墚?dāng)為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí)，（４）三角函數(shù)：函數(shù)與分別稱(chēng)為復(fù)變量10的余弦函數(shù)與正弦函數(shù)，記作與，即：＝；＝性質(zhì)：①與均為單值函數(shù)②與均為以為周期的周期函數(shù)③為偶函數(shù)，為奇函數(shù)④；⑤⑥與在復(fù)平面上均為解析函數(shù)，且第三章復(fù)變函數(shù)的積分1．定理：設(shè)在光滑曲線上連續(xù)，則它的積分：2．設(shè)曲線的參數(shù)方程為，則解析函數(shù)的積分就變成：3．圓的參數(shù)方程：，則積分4．復(fù)積分的基本性質(zhì):①②③④,其中5．柯西積分公式：設(shè)在簡(jiǎn)單閉曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)解析，在上連續(xù)，是內(nèi)任一點(diǎn)，則6．解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：10第四章

7、解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示1．定理：設(shè)，，則的充分必要條件是，2．復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：，部分和序列：如果極限存在，則稱(chēng)級(jí)數(shù)是收斂的，稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和；如果沒(méi)有極限，級(jí)數(shù)發(fā)散3．定理：級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)都收斂4．定理：級(jí)數(shù)收斂的必要條件是：；若，則級(jí)數(shù)必然發(fā)散5．定理：如果收斂，則也收斂6．復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：7．冪級(jí)數(shù)：，或者：8．定理：若冪級(jí)數(shù)在處收斂，那么該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿(mǎn)足的都絕對(duì)收斂；在處發(fā)散，則該級(jí)數(shù)對(duì)任意滿(mǎn)足的都發(fā)散9．定理：對(duì)冪級(jí)數(shù)，如果下列條件之一成立：（1）（2），那么級(jí)數(shù)收斂。收斂半徑：1010．冪級(jí)數(shù)和函數(shù)性質(zhì)：若冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)

8、在收斂圓內(nèi)解析，則在收斂圓內(nèi)可逐次求導(dǎo)和逐次積分，即：11．泰勒級(jí)數(shù)：設(shè)函數(shù)在圓盤(pán)內(nèi)解析，則在內(nèi)的泰勒級(jí)數(shù)展式為：12．邁克勞林展開(kāi)式：在泰勒級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上取，則有：13．基本泰勒展式：①②14