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《acm算法 計(jì)算幾何基礎(chǔ)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、ACM程序設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)學(xué)院劉春英9/25/20211今天，你了嗎？AC9/25/20212每周一星（6）：老菜(donhau)9/25/20213第七講計(jì)算幾何初步(ComputationalGeometryBasic)9/25/20214第一單元線段屬性9/25/202159/25/202169/25/202179/25/202189/25/202199/25/2021109/25/2021119/25/2021129/25/202113思考：1、傳統(tǒng)的計(jì)算線段相交的方法是什么？2、傳統(tǒng)方法和本方
2、法的區(qū)別是什么？9/25/202114特別提醒：以上介紹的線段的三個(gè)屬性，是計(jì)算幾何的基礎(chǔ)，在很多方面都有應(yīng)用，比如求凸包等等，請(qǐng)務(wù)必掌握！9/25/202115第二單元多邊形面積和重心9/25/202116基本問(wèn)題（1）：給定一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形，求其面積。輸入：多邊形（頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列）輸出：面積S9/25/202117思考如下圖形：9/25/202118Anygoodidea?9/25/202119先討論最簡(jiǎn)單的多邊形——三角形9/25/202120三角形的面積：在解析幾何里，△ABC的面積可
3、以通過(guò)如下方法求得：點(diǎn)坐標(biāo)=>邊長(zhǎng)=>海倫公式=>面積9/25/202121思考：此方法的缺點(diǎn)：計(jì)算量大精度損失更好的方法？9/25/202122計(jì)算幾何的方法：在計(jì)算幾何里，我們知道，△ABC的面積就是“向量AB”和“向量AC”兩個(gè)向量叉積的絕對(duì)值的一半。其正負(fù)表示三角形頂點(diǎn)是在右手系還是左手系。ABC成左手系，負(fù)面積ABC成右手系，正面積BCACBA9/25/202123大功告成：Area(A,B,C)=1/2*(↑AB)×(↑AC)=∣∣/2特別注意：以上得到是有向面積（有正負(fù)）！Xb–Xa
4、Yb–YaXc–XaYc–Ya9/25/202124凸多邊形的三角形剖分很自然地，我們會(huì)想到以P1為扇面中心，連接P1Pi就得到N-2個(gè)三角形，由于凸性，保證這些三角形全在多邊形內(nèi)，那么，這個(gè)凸多邊形的有向面積：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)P1P2P3P4P5P6A1A2A3A49/25/202125凹多邊形的面積？P1P4P3P29/25/202126依然成立！?。《噙呅蚊娣e公式：A=sigma(Ai)(i=1…N-2)結(jié)論：“有向面積”A比“面積”S其實(shí)更本質(zhì)！9/25/20212
5、7任意點(diǎn)為扇心的三角形剖分：我們能把多邊形分成N-2個(gè)三角形，為什么不能分成N個(gè)三角形呢？比如，以多邊形內(nèi)部的一個(gè)點(diǎn)為扇心，就可以把多邊形剖分成N個(gè)三角形。P0P1P2P6P5P4P39/25/202128前面的三角剖分顯然對(duì)于多邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)都是合適的！我們可以得到：A=sigma(Ai)（i=1…N）即：A=sigma∣∣/2（i=1…N）Xi–X0Yi–Y0X(i+1)–X0Y(i+1)–Y09/25/202129能不能把扇心移到多邊形以外呢？P0P1P2P3P49/25/202130既然
6、內(nèi)外都可以，為什么不設(shè)P0為坐標(biāo)原點(diǎn)呢？OP1P2P3P4現(xiàn)在的公式？9/25/202131簡(jiǎn)化的公式：A=sigma∣∣/2（i=1…N）XiYiX(i+1)Y(i+1)面積問(wèn)題搞定！9/25/202132基本問(wèn)題（2）：給定一個(gè)簡(jiǎn)單多邊形，求其重心。輸入：多邊形（頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列）輸出：重心點(diǎn)C9/25/202133從三角形的重心談起：三角形的重心是：(x1+x2+x3)/3，(y1+y2+y3)/3可以推廣否？Sigma(xi)/N,sigma(yi)/N(i=1…N)???9/25/2
7、02134看看一個(gè)特例：.9/25/202135原因：錯(cuò)誤的推廣公式是“質(zhì)點(diǎn)系重心公式”，即如果認(rèn)為多邊形的質(zhì)量?jī)H分布在其頂點(diǎn)上，且均勻分布，則這個(gè)公式是對(duì)的。但是，現(xiàn)在多邊形的質(zhì)量是均勻分布在其內(nèi)部區(qū)域上的，也就是說(shuō)，是與面積有關(guān)的！9/25/202136Solution:剖分成N個(gè)三角形，分別求出其重心和面積，這時(shí)可以想象，原來(lái)質(zhì)量均勻分布在內(nèi)部區(qū)域上，而現(xiàn)在質(zhì)量?jī)H僅分布在這N個(gè)重心點(diǎn)上（等假變換），這時(shí)候就可以利用剛才的質(zhì)點(diǎn)系重心公式了。不過(guò)，要稍微改一改，改成加權(quán)平均數(shù)，因?yàn)橘|(zhì)量不是均勻分
8、布的，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)代表其所在三角形，其質(zhì)量就是該三角形的面積（有向面積?。?，——這就是權(quán)！9/25/202137公式：C=sigma(Ai*Ci)/A(i=1…N)Ci=Centroid(△OPiPi+1)=(O+↑Pi+↑Pi+1)C=sigma((↑Pi+↑Pi+1)(↑Pi×↑Pi+1))/(6A)9/25/202138全部搞定！9/25/202139第三單元凸包(ConvexHull)9/25/2021409/25/2021419/25/2021429/25/2021439/2
