原點矩及中心矩

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1、第10講原點矩與中心矩協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)教學目的：掌握矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)及計算。教學重點：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念和性質(zhì)。教學難點：矩、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的概念。教學學時：2學時教學過程：第三章隨機變量的數(shù)字特征§3.3原點矩與中心矩隨機變量的數(shù)字特征除了數(shù)學期望和方差外，為了更好的描述隨機變量分布的特征，有時還要用到隨機變量的各階矩（原點矩與中心矩），它們在數(shù)理統(tǒng)計中有重要的應用。定義1設(shè)是隨機變量，若存在，則稱它為的階原點矩，記作，即，顯然，一階原點矩就是數(shù)學期望，即。定義2設(shè)隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望存在，則稱為的階中心矩，記作，即，易知，一階中心矩恒等于零，即；二階中心

2、矩就是方差，即。不難證明，原點矩與中心矩之間有如下關(guān)系：5等。定義3設(shè)和是隨機變量，若存在，則稱它為和的階混合矩。若存在，則稱它為和的階混合中心矩?！?.4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1.協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義二維隨機變量的數(shù)字特征中最常用的就是協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)。定義3設(shè)有二維隨機變量，如果存在，則稱為隨機變量與的協(xié)方差，記作，即而稱為隨機變量與的相關(guān)系數(shù)，記作，即顯然，協(xié)方差是和的二階混合中心矩。當，通常稱隨機變量與是不相關(guān)的。2.協(xié)方差的性質(zhì)(1)，由定義知性質(zhì)（1）是顯然的。(2)證(3)5證該性質(zhì)可推廣到任意場合，即(4)，是常數(shù)。由定義知性質(zhì)（4）是顯然的。(5)由定義知性質(zhì)（5）是顯然的

3、。(6)若與相互獨立，則，即與不相關(guān)。反之，若與不相關(guān)，與不一定相互獨立。3.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(2)若與相互獨立，則(3)當且僅當與之間存在線性關(guān)系（為常數(shù)，）時，，且。證對于性質(zhì)（1），我們考慮隨機變量，由協(xié)方差的性質(zhì)（3）可得故對于性質(zhì)（2），由于與相互獨立，則有，由定義知。對于性質(zhì)（3），若，則，，5即，事實上相關(guān)系數(shù)只是隨機變量間線性關(guān)系強弱的一個度量，當時說明隨機變量與之間具有很強的線性關(guān)系，當時為正線性相關(guān)，時為負線性相關(guān)。當時，隨機變量與之間的線性相關(guān)程度將隨著的減小而減弱，當時，意味著隨機變量與是不相關(guān)的。例1設(shè)隨機變量服從上的均勻分布，又，試求相關(guān)系數(shù)。解故相關(guān)系數(shù)

4、，隨機變量與不相關(guān)，但是有，從而與不獨立。例2設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率分布如下：01-101/301/30101/35試證明與不相關(guān)，但不相互獨立。證易知與的邊緣概率分布分別是：011/32/3-1011/31/31/3由公式得所以與是不相關(guān)的。但是，因為，，故與不相互獨立。例3設(shè)二維隨機變量的概率密度函數(shù)為試證明隨機變量與不相關(guān)，也不相互獨立。證由于關(guān)于軸、軸對稱，故因而，即與不相關(guān)。又由于，顯然在上，，所以與不相互獨立。5