數(shù)學(xué)探究教學(xué)-國(guó)立彰化師范大學(xué)

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1、數(shù)學(xué)探究本文整理自：林勇吉（2009）。透過(guò)敘說(shuō)取向個(gè)案研究探討四位國(guó)中數(shù)學(xué)教師發(fā)展數(shù)學(xué)探究教學(xué)之故事：聚焦於信念、知識(shí)與實(shí)務(wù)。國(guó)立彰化師範(fàn)大學(xué)科學(xué)教育所博士論文，未出版，彰化市。林勇吉b8524039@gmail.com數(shù)學(xué)探究可簡(jiǎn)單解釋為「問(wèn)題－過(guò)程－解答」的整體程序。換言之，它是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程。Romberg和Kaput（1999）認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)被視為人類的活動(dòng)（humanactivity），反映出數(shù)學(xué)家的工作的性質(zhì)，而這個(gè)性質(zhì)是經(jīng)由探究學(xué)習(xí)。例如，知道為何所提供的方法能夠運(yùn)作、發(fā)現(xiàn)新的

2、方法，證明主張等；Yerushalmy,Chazan和Gordon（1990）進(jìn)一步提出數(shù)學(xué)探究應(yīng)該是協(xié)助學(xué)生使用「數(shù)學(xué)家的態(tài)度」進(jìn)行探索。為了進(jìn)一步詮釋「數(shù)學(xué)探究」，我們可以從幾個(gè)不同觀點(diǎn)來(lái)探討：一、數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點(diǎn)Borasi（1992,1996）認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)充滿模糊（ambiguity）與衝突（conflict），可以透過(guò)這個(gè)特性來(lái)幫助學(xué)生探究。例如：（1）利用錯(cuò)誤（題目）當(dāng)作跳板，引起學(xué)生思考「為何錯(cuò)」與「該如何修正」等問(wèn)題；（2）藉由提出與現(xiàn)狀不同的另有（alternatives）解答，創(chuàng)造模糊和衝突

3、，例如問(wèn)學(xué)生：「如果改變一些假設(shè)、定義或目標(biāo)，會(huì)有什麼事情發(fā)生？」；（3）探索學(xué)生不熟悉的新概念。例如非歐幾何（計(jì)程車幾何）（Krause,1986），討論如何在方格紙上畫「圓」（表1）。表1數(shù)學(xué)探究環(huán)（inquirycylce）教學(xué)範(fàn)例，「計(jì)程車幾何」主題：介紹非歐幾何探究活動(dòng)：「計(jì)程車幾何」。假設(shè)計(jì)程車在一個(gè)規(guī)則的城市中行駛（方格），他只能水平和鉛直移動(dòng)，如下圖，那麼歐氏幾何是否還依然存在？探究環(huán)教學(xué)內(nèi)容1.準(zhǔn)備與聚焦1.與同學(xué)討論過(guò)去學(xué)習(xí)過(guò)的幾何概念：如說(shuō)明在生活中使用幾何的例子；定義；公式等。2.閱讀

4、關(guān)於歐氏幾何與非歐幾何的文本，請(qǐng)同學(xué)發(fā)表與書(shū)寫心得。3.實(shí)施「計(jì)程車幾何」活動(dòng)：學(xué)生甲：這不特別阿－這是普通的幾何…只是老遊戲加上新規(guī)則。教師在黑板寫下：這只是新規(guī)則或是整個(gè)新遊戲？4學(xué)生乙：你甚至不能在上面畫圓（為了證明這是新的幾何）！2.這兩種爭(zhēng)議性的主張，引起全班討論，教師因此決定，讓全班同學(xué)探究在計(jì)程車幾何中，圓是否存在。2.執(zhí)行1.學(xué)生開(kāi)始探索在計(jì)程車幾何中，「圓」是否存在。學(xué)生開(kāi)始在方格紙中，畫出他們認(rèn)為的圓。這些圖會(huì)展示給其他學(xué)生，用來(lái)支持自己的臆測(cè)，並且接受批判。有些學(xué)生認(rèn)為格子很小的時(shí)候，就

5、會(huì)有一般的圓產(chǎn)生。教師：什麼是圓？2.學(xué)生閱讀教科書(shū)，探討圓的定義與計(jì)程車幾何中的限制。3.經(jīng)討論後，確定計(jì)程車幾何中的圓與歐氏幾何的圓不一致。3.綜合與溝通1.教師尋求機(jī)會(huì)，幫助學(xué)生總結(jié)計(jì)程車幾何的探究。2.再度閱讀文本，藉由學(xué)生討論與溝通想法的過(guò)程，幫助學(xué)生整合探究的結(jié)論。各個(gè)學(xué)生使用圖形和模型去支持他們的想法。4.評(píng)估與延伸1.教師帶領(lǐng)大家結(jié)束這個(gè)探究，並且確認(rèn)一些觀念和取向，可在未來(lái)的探究實(shí)施2.教師整合學(xué)生的探究經(jīng)驗(yàn)，並讓學(xué)生反思這些經(jīng)驗(yàn)。3.教師評(píng)量學(xué)生的探究表現(xiàn)。一、師生互動(dòng)的觀點(diǎn)Wood和Tu

6、rner-Vorbeck（2001），由心理學(xué)與社會(huì)學(xué)的角度，發(fā)展改革取向教學(xué)中，數(shù)學(xué)課室?guī)熒?dòng)的分析架構(gòu)，它將師生互動(dòng)模式，依其程度，區(qū)分為：「報(bào)導(dǎo)方式」（reportways）、「探究」、「論證」（argument）等三個(gè)類別?！笀?bào)導(dǎo)方式」，是指在課室討論中，學(xué)生告訴其他學(xué)生他是如何解決教師分配的問(wèn)題，主要聚焦學(xué)生報(bào)告自己的解題策略。在「探究」的課室模式中，學(xué)生們開(kāi)始也是使用「報(bào)導(dǎo)方式」方式進(jìn)行，其後，學(xué)生必須去澄清（clarify）他們的意義，並且回應(yīng)教師與學(xué)生的問(wèn)題，在這個(gè)課室中，不只聚焦個(gè)別學(xué)生的

7、解題差異，同時(shí)，也必須要推理（reasoning）他們的解答?！刚撟C」則是比「探究」更高層次，除了必須報(bào)導(dǎo)解題策略、提出思考上的解釋外，還必須挑戰(zhàn)答案的有效性，或是挑戰(zhàn)某人的推理，也可以說(shuō)是非形式的證明，學(xué)生必須回應(yīng)他人的挑戰(zhàn)。然而Wood,Williams和McNeal（2006）也強(qiáng)調(diào)可以把「探究/論證」看成同一個(gè)類別。二、擬題的觀點(diǎn)Whitin（2006）認(rèn)為數(shù)學(xué)探究教學(xué)，是指使用學(xué)生的「觀察」和「問(wèn)題」當(dāng)作跳板，做為提供在適當(dāng)學(xué)科內(nèi)容內(nèi)進(jìn)行探究的機(jī)會(huì)，例如當(dāng)學(xué)生知道6+4=10，那麼可以進(jìn)一步詢問(wèn)有哪

8、些三個(gè)數(shù)相加，也可以得到同樣的結(jié)果（如2+4+4；3+4+3）。更進(jìn)一步，Whitin使用擬題（problemposing）做為數(shù)學(xué)探究的工具。4這意味找出（identifying）給定問(wèn)題的特性（attribute），之後改變一個(gè)或幾個(gè)特性，創(chuàng)造新的問(wèn)題，這個(gè)過(guò)程與上述例子相同。Whitin使用擬題策略的原因，是因?yàn)閿M題其實(shí)融入一些數(shù)學(xué)探究重要元素於其中，包括：細(xì)心觀察、使用多樣的觀點(diǎn)、產(chǎn)生問(wèn)題、