彈塑性力學(xué)-第7章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)

《彈塑性力學(xué)-第7章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。

1、第七章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)第七章等截面柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)在船舶、航空、土建以及機(jī)械工程等的機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，作為傳遞扭矩的柱體是個(gè)重要的部件。所謂柱體的扭轉(zhuǎn)，是指圓柱體和棱柱體只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量與柱體的軸線的方向相重合。扭轉(zhuǎn)問(wèn)題屬于僅在端面上受力柱體的平衡問(wèn)題，若嚴(yán)格地滿足其邊界條件，按彈塑性力學(xué)求解是比較困難的。因此，利用圣維南原理，將邊界條件放松，即認(rèn)為柱體中間截面上的應(yīng)力僅與端面上外力的合力及合力矩有關(guān)，這種放松了邊界條件的問(wèn)題稱為圣維南問(wèn)題。即使對(duì)于圣維南問(wèn)題，仍需要求解一組偏微分方程，并使其滿足一定的邊界條件。但在實(shí)用上很少由直接積分其基本方程

2、而得到解答，大部分工程問(wèn)題用間接的或近似的方法得到。在間接方法中，圣維南的半逆解法是很重要的。即先在應(yīng)力或位移分量中假設(shè)一部分未知函數(shù)，然后將這部分函數(shù)代入基本方程，求得另外一部分的未知函數(shù)，并使全部未知函數(shù)滿足所給定的邊界條件，則所假設(shè)的和求得的函數(shù)即為問(wèn)題的解。由于用應(yīng)力作為基本未知函數(shù)用半逆法求解時(shí)可以導(dǎo)致比較簡(jiǎn)單的邊界條件，因此求解比較方便。7.1彈性柱體自由扭轉(zhuǎn)的基本關(guān)系式與應(yīng)力函數(shù)解在材料力學(xué)中曾經(jīng)過(guò)討論圓軸的扭轉(zhuǎn)，其特點(diǎn)是扭轉(zhuǎn)變形前后的截面都是圓形，而且每一個(gè)截而只作剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，在小變形條件下，沒有鈾向位移，取坐標(biāo)系為，且柱體的軸線為方向，方向的位移

3、為，即。這樣，變形后截面的半徑及圓軸長(zhǎng)度基本不變。非圓形截面柱體的情況要復(fù)雜得多。由于截面的非對(duì)稱性，在扭轉(zhuǎn)過(guò)程中，截面不再保持為平面，而發(fā)生了垂直于截面的翹曲變形，即。函數(shù)稱為翹曲函數(shù)。下面討論任意截面形狀的棱柱體扭轉(zhuǎn)基本方程。設(shè)有任意截面形狀的等截面棱柱體，柱體兩端受糾扭矩作用，如圖7.1所示。1.邊界條件對(duì)于扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，柱體側(cè)面為自由表面，因此柱體側(cè)面的邊界條件為(7.1-1)式中。192第七章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)圖7.1棱柱體的扭轉(zhuǎn)在端部邊界條件為(7.1-2)2.柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)的位移與應(yīng)變對(duì)于柱體扭轉(zhuǎn)問(wèn)題，圣維南半逆解法假設(shè)：(1)認(rèn)為截面的翹曲變形與軸無(wú)關(guān)，即

4、各截面?zhèn)兟N曲程度相同。(2)柱體發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，截面僅僅產(chǎn)生繞軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，且間矩為單位長(zhǎng)度的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角(扭率)為常數(shù)。因此，由假設(shè)(1)可知，翹曲函數(shù)僅為的函數(shù)；又由假設(shè)(2)可知，翹曲函數(shù)必與祟函數(shù)戲正比，即(7.1-3)再由假設(shè)(2)，如果令距坐標(biāo)原點(diǎn)為處截面相對(duì)截面的扭轉(zhuǎn)角為，則該截面上距扭轉(zhuǎn)中心為的任一點(diǎn)扭轉(zhuǎn)后移至(圖7.2)，由于處截面沒有轉(zhuǎn)動(dòng)，只有翹曲，因此點(diǎn)在方向的位移分量為(7.1-4)式中為與軸之間的夾角。由于截面總扭轉(zhuǎn)角圖7.2扭轉(zhuǎn)變形的位移與該截面至坐標(biāo)原點(diǎn)的距離成正比，故的轉(zhuǎn)角為。將式(7.1-3)和式(7.1-4)代入應(yīng)變位移

5、關(guān)系，可得一點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?92第七章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)(7.1-5)3.廣義虎克定律對(duì)于柱體的彈性扭轉(zhuǎn)，根據(jù)(7.1-5)式可得應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系化為(7.1-6)由式(7.1-5)和(7.1-6)可見，根據(jù)圣維南原理得到：截面上任訶一點(diǎn)都沒有正應(yīng)力，因此各縱向纖維之間和沿各縱向纖維方向均無(wú)壓了應(yīng)力；在各截面內(nèi)(平面)沒有應(yīng)變，即截面在坐標(biāo)面上的投影形狀不變。此外，在截面每一點(diǎn)只有由和所確定的純剪切。4.平衡方程當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，平衡方程可由(2.2-2)式化為(7.1-7)5.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程將式(7.1-6)中的第二式對(duì)微分，第三式對(duì)微分，然后相減，可得用應(yīng)力表示的兩

6、種不同形式的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為(7.1-8)由上式可知，翹曲函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，通常稱為圣維南調(diào)和函數(shù)。于是，任意截面形狀的柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力，歸結(jié)為根據(jù)邊界條件求解(7.1-7)，(7.1-8)兩式。6.柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)法由于從(7.1-8)式求解翹曲函數(shù)192第七章柱體的彈塑性扭轉(zhuǎn)通常比較困難，為此，借助應(yīng)力函數(shù)法。當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量和之間的關(guān)系為(7.1-9)稱為普朗特應(yīng)力函數(shù)。將式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7)，顯然滿足。將它代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(7.1-8)第二式后，得(7.1-10)由此可知，應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足上述偏微分方程式(7.1-1

7、0)。這種類型的方程稱為泊松方程。當(dāng)柱體側(cè)面無(wú)面力作用時(shí)，則邊界條件式(7.1-1)簡(jiǎn)化為(a)注意到在邊界上，，由圖7.1可知，當(dāng)增加時(shí)，增加，而減少。因此，其方向余弦為(b)將式(7.1-9)和式(b)代入式(a)后，有(c)由式(c)可知常數(shù)上式說(shuō)明，沿柱體任意截面的邊界曲線，應(yīng)力函數(shù)為一任意常數(shù)。對(duì)于實(shí)心柱體，也即截面為單連通域，由式(7.1-9)知，因剪應(yīng)力是應(yīng)力函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，所以將常數(shù)取為零并不失一般性，即(沿柱體周邊)(7.1-11)而截面上任一點(diǎn)的合剪應(yīng)力的為(7.1-12)式中為沿等值線的法線方向，的方向?yàn)檠氐戎稻€的切線方向，因此稱等值線為

8、剪應(yīng)力線。由于邊界上的剪