圓錐曲線間的三個統(tǒng)一(統(tǒng)一定義、統(tǒng)一公式、統(tǒng)一方程)

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1、.圓錐曲線間的三個統(tǒng)一內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班高卓瑋指導(dǎo)老師：薛紅梅世界之美在于和諧，圓錐曲線間也有其內(nèi)在的和諧與統(tǒng)一，通過對圓錐曲線圖形和已知公式的變換，我們可以得出以下結(jié)論。一、四種圓錐曲線的統(tǒng)一定義動點P到定點F的距離到定直線L的距離之比等于常數(shù)e，則當(dāng)時，動點P的軌跡是橢圓：當(dāng)時，動點P的軌跡是拋物線；當(dāng)時，動點P的軌跡是雙曲線；若，我們規(guī)定直線L在無窮遠處且P與F的距離為定值（非零），則此時動點P的軌跡是圓，同時我們稱e為圓錐曲線的離心率，F(xiàn)為焦點，L為準(zhǔn)線。二、四種圓錐曲線的統(tǒng)一方程從第1點我們可以知道離心率影響著圓錐曲線的形

2、狀。為了實現(xiàn)統(tǒng)一我們把橢圓、雙曲線進行平移，使橢圓、雙曲線的右頂點與坐標(biāo)原點重合，記它們的半通徑為，則。如圖1，將橢圓按向量（）平移得到∴∵橢圓的半通徑，∴橢圓的方程可寫成類似的，如圖2，將雙曲線按向量平移得到∴...∵雙曲線的半通徑，∴雙曲線方程可寫成對于拋物線P為半通徑，離心率，它也可寫成對于圓心在（P，0），半徑為P的圓，其方程為，它也可寫成于是在同一坐標(biāo)下，四種圓錐曲線有統(tǒng)一的方程，其中P是曲線的半通徑長，當(dāng)，，時分別表示圓、橢圓、拋物線、雙曲線。三、四種圓錐曲線的統(tǒng)一焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和焦半徑公式在同一坐標(biāo)系下，作出方程所表示的四種圓錐曲

3、線，如圖3，設(shè)P、B、A、C分別是圓的圓心，橢圓的左焦點、拋物線的焦點、雙曲線的右焦點統(tǒng)一記為的焦點F則有，即方程所表示的四種圓錐曲線的一個焦點為，設(shè)焦點F相應(yīng)的準(zhǔn)線為，則有?！鄿?zhǔn)線L為，對于圓表示準(zhǔn)線L在無限遠處，設(shè)點...為曲線上在y軸右側(cè)的動點，則點M對焦點F的焦半徑。圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一，使我們可以將圓、橢圓、雙曲線和拋物線有機地聯(lián)系起來，從而更好地理解圓錐曲線的含義，更好地運用圓錐曲線解決實際問題。...圓錐曲線中的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)蒙古巴彥淖爾市奮斗中學(xué)0504班高卓瑋指導(dǎo)老師：薛紅梅在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時，數(shù)學(xué)思想方法尤為重要，通過對我

4、們平時所遇到的例題及習(xí)題的歸納、總結(jié)，可以得出以下一些關(guān)于圓錐曲線問題中的數(shù)學(xué)思想方法，幫助我們解決問題。思想方法一：分類討論思想例1.給定拋物線設(shè)，P是拋物線上的一點，且，試求d的最小值。解：設(shè)，則∴又，∴（1）當(dāng)時，，此時有（2）當(dāng)時，此時有評注：引起分類討論的情況有：參數(shù)的取值范圍、去絕對值符號、大小關(guān)系不等式等，在討論中要思維全面，謹(jǐn)慎，做到不懂不漏。思想方法二：轉(zhuǎn)化思想例2已知過點A（―2，―4）且斜率為1的直線L交拋物線于B、C兩點，若

5、AB

6、、

7、BC

8、、

9、CA

10、成等比數(shù)列，求拋物線方程。解：直線L的方程為設(shè)B（），由得∴∵

11、AB

12、、

13、

14、BC

15、、

16、CA

17、成等比數(shù)列...∴過A作直線∥軸，設(shè)B、C在上的射影分別是，則∴即∴得化簡為解得滿足或（舍去）故所求的拋物線方程為評注：如何將“

18、AB

19、、

20、BC

21、、

22、CA

23、成等比數(shù)列”這一條件轉(zhuǎn)化為A、B、C三點坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題巧妙運用了“投影”方法將這一條件轉(zhuǎn)化為在水平線上的三線段之間的比例關(guān)系，從而達到轉(zhuǎn)化的目的。思想方法三：化歸思想例3直線L：與雙曲線C：的右支交于不同的兩點A、B。（1）求實數(shù)k的取值范圍。（2）是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點。解：（1）將直線L的方程代入雙曲線C的方程，得①依題意

24、直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點∴...2）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為則由①可得，②假設(shè)存在實數(shù)，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F（c，0）則由FA⊥FB得整理得：③把②式及代入③式化簡得：∴或（舍去）∴使得以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F。評注：解決數(shù)學(xué)問題的過程，實質(zhì)就是在不斷轉(zhuǎn)化與化歸的過程。應(yīng)在解題時注意思維調(diào)控，恰當(dāng)轉(zhuǎn)化解題途徑，使解題更加便捷。思想方法四：數(shù)形結(jié)合思想例4函數(shù)的最大值是________。分析：原式=，其幾何模型是定曲線上的動點到兩定點A（3，2），B（0，1）的距離之差，要求其最大值?！嘣u注：利用問題

25、模型的幾何意義，借助圖形性質(zhì)來解決問題，可使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化。思想方法五：函數(shù)與方程思想例5斜率為2的直線與等軸雙曲線相交于兩點，求線段中點的軌跡方程。...解：設(shè)直線方程為代入雙曲線方程得∵直線與雙曲線相交于∴∴或設(shè)的坐標(biāo)為，線段中點為則且或∴代入直線方程得：所求軌跡方程為（或）思想方法六：構(gòu)造思想例6已知滿足，求的取值范圍。解：令=b，則原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓相切時，有最大截距與最小截距由消去得由得∴的取值范圍為[－13，13]評注：應(yīng)用構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵有①要有明確方向，即為何構(gòu)造②要弄清條件的本質(zhì)特點，以便進行邏輯組合。思想方法

26、七：對稱思想例7在直線L：上任取一點過且以橢圓的焦點為焦點作橢圓。問在何處時，所作的橢圓長軸最短，并求出其方程。解：∵的兩