《短路徑問題》PPT課件

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1、八年級上冊13.4課題學習最短路徑問題看圖思考:為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢?綠地里本沒有路,走的人多了……禁止踐踏愛護草坪兩點之間,線段最短將軍飲馬問題:兩點之間線段最短這個問題早在古羅馬時代就有了,傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學和物理的學者,名叫海倫.一天,一位羅馬將軍專程去拜訪他,向他請教一個百思不得其解的問題:將軍每天騎馬從城堡A出發(fā),到城堡B,途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短?這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。P兩點之間線段最短.根據(jù):BA(一)兩點在一條直線兩側(cè)例1.如圖:古希臘一位將軍

2、騎馬從城堡A到城堡B,途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短?最短路線:將軍飲馬:A---P---B.例2.如圖:一位將軍騎馬從城堡A到城堡B,途中馬要到河邊飲水一次,問:這位將軍怎樣走路程最短?AB河兩點在一條直線同側(cè)(二)一次軸對稱:例2變式:已知:P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點,你能在BC上確定一點R,使△PQR的周長最短嗎?兩點在一條直線同側(cè)(二)一次軸對稱:草地河邊.駐地A例3.如圖:一位將軍騎馬從駐地A出發(fā),先牽馬去草地OM吃草,再牽馬去河邊ON喝水,最后回到駐地A,問:這位將軍怎樣走路程最短

3、?OMN(三)二次軸對稱:一點在兩相交直線內(nèi)部例3變式:已知P是△ABC的邊BC上的點,你能在AB、AC上分別確定一點Q和R,使△PQR的周長最短嗎?(三)二次軸對稱:一點在兩相交直線內(nèi)部例4:如圖,A為馬廄,B為帳篷,將軍某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷,請你幫助確定這一天的最短路線。(四)二次軸對稱:兩點在兩相交直線內(nèi)部ABA/B/PQ最短路線:APQBlMN例4變式:如圖,OMCN是矩形的臺球桌面,有黑、白兩球分別位于B、A兩點的位置上,試問怎樣撞擊白球,使白球A依次碰撞球臺

4、邊OM、ON后,反彈擊中黑球?(四)二次軸對稱:兩點在兩相交直線內(nèi)部......AA'BB'CDMON例4變式:(四)二次軸對稱:兩點在兩相交直線內(nèi)部兩點在一條河兩側(cè)例5.如圖:古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)BA(五)造橋選址問題思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢?MN2、利用線段公理解決問

5、題我們遇到了什么障礙呢?我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能幫助我們呢?思維火花各抒己見1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.古有愚公移山,今有學子搬橋,呵呵!上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢?請檢驗.合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢?把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決BAA1MN如圖,平移A到A1,使AA1等于河寬,連接A1B交河岸于N作橋MN,此時路徑AM+MN+BN最短.理由;另任

6、作橋M1N1,連接AM1,BN1,A1N1.N1M1由平移性質(zhì)可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由線段公理知A1N1+BN1>A1B因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN問題延伸如圖,A和B兩地之間有兩條河,現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河岸垂直)思維分析如圖,問題中所走總路徑是AM+MN+N

7、P+PQ+QB.橋MN和PQ在中間,且方向不能改變,仍無法直接利用“兩點之間,線段最短”解決問題,只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種:兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處,PQ平移到B點處思維方法沿垂直于第一條河岸方向平移A點至A1 點,沿垂直于第二條河岸方向平移B點至B1點,連接A1B1分別交A、B的對岸于N、P兩點,建橋MN和PQ.最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.(2)把A,B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè),化折線為直線,將軍飲馬

8、的實質(zhì):(3)可利用“兩點之間線段最短”加以解決。(1)求最短路線問題------通過幾何變換找對稱圖形。(4)“選橋選址問題”移動橋?qū)捄筮€是可利用“兩點之間線段最短”加以解決。反思是進步的階梯我的收獲;我的疑惑;面對一個新的求線段最短問題時,我們可以通過怎樣的途徑去研究它?

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