數(shù)理方程關(guān)于某振動(dòng)方程地分析報(bào)告matlab

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案數(shù)理方程基于MATLAB的問(wèn)題分析報(bào)告一、問(wèn)題的提出、背景、意義文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案振動(dòng)是指物體經(jīng)過(guò)它的平衡位置所作的往復(fù)運(yùn)動(dòng)或某一物理量在其平衡值附近的來(lái)回變動(dòng)。而波動(dòng)則是一種能量傳播的方式。雖然形式不同，但是兩者的聯(lián)系十分緊密，振動(dòng)是波動(dòng)的根源，波動(dòng)是振動(dòng)的傳播形式。因此在分析問(wèn)題乃至實(shí)際操作中，往往是把兩者放在一起分析的，首先討論振動(dòng)的各方面特性，這樣就相當(dāng)于已知了波動(dòng)一點(diǎn)上的相應(yīng)特性，再對(duì)波動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，就只用討論距離的影響了。一般來(lái)說(shuō)，振動(dòng)只受時(shí)間影響，加上距離的參數(shù)，最終波動(dòng)就只受兩個(gè)變量影響，而且也

2、知道了它們是無(wú)關(guān)的，就可以使用分離變量法進(jìn)行求解。弦振動(dòng)是波動(dòng)的一類特殊形式，它在音樂(lè)物理學(xué)、材料學(xué)、地理學(xué)、物質(zhì)分析學(xué)等許多領(lǐng)域都得到了應(yīng)用，而弦振動(dòng)所屬聲學(xué)又是力學(xué)的一個(gè)非常獨(dú)立的分支，因此它在各領(lǐng)域的作用幾乎是不可取代的。由于近年來(lái)的各方面硬件設(shè)施和軟件的發(fā)展，曾經(jīng)停止發(fā)展很長(zhǎng)一段時(shí)間的對(duì)弦振動(dòng)的分析又開(kāi)始體現(xiàn)出它獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在產(chǎn)生音樂(lè)的過(guò)程中，琴弦的振動(dòng)是很常見(jiàn)的一種方式，本文就將對(duì)琴弦振動(dòng)進(jìn)行一定的研究，通過(guò)對(duì)弦振動(dòng)方程的理解，給出不同初始條件，并分析出琴弦不同地方產(chǎn)生波的特性，再用MATLAB做好程序，畫出相應(yīng)的

3、圖像，經(jīng)比較后得到琴弦的撥發(fā)與產(chǎn)生聲音的聯(lián)系。二、問(wèn)題分析思路2.1建立偏微分方程分析一根琴弦的振動(dòng)問(wèn)題，通過(guò)針對(duì)具體要分析的問(wèn)題，可以列出弦振動(dòng)方程以及初始條件（L為弦的長(zhǎng)度，因?yàn)槭莾啥斯潭ǖ南?，初始條件一定有），用分離變量法很容易求得它相應(yīng)的解，即弦振動(dòng)的函數(shù)。2.2對(duì)琴弦參數(shù)的求解已知常量T=128N，普通鋼琴弦密度，根據(jù)琴弦傳播速度公式，可以求得速度v。文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2.3求解對(duì)象由弦振動(dòng)的函數(shù)可以得到弦上不同點(diǎn)的振動(dòng)情況。隨機(jī)選取幾個(gè)點(diǎn)，得到它們的振動(dòng)情況，并比較。2.4作圖方法通過(guò)MATLAB仿真出不同點(diǎn)的

4、圖像，比較圖像的幅值周期等參數(shù)。（開(kāi)始考慮到有兩種方式，一種直接通過(guò)上一個(gè)步驟求出的解使用簡(jiǎn)單的MATLAB命令畫出圖，另一種則是通過(guò)MATLAB解方程后再畫出相應(yīng)的圖像，事實(shí)上第一種MATLAB是做不到的，于是用第二種）2.5仿真結(jié)果仿真出弦振動(dòng)的頻譜圖，即以頻率和振幅為橫縱坐標(biāo)的圖，得到不同頻率與振幅的關(guān)系，對(duì)圖可以進(jìn)行一系列的分析，得到相應(yīng)的結(jié)果。2.6方程解的現(xiàn)實(shí)意義由于琴弦振動(dòng)實(shí)際意義，我們將弦振動(dòng)的實(shí)際音效也用MATLAB做出來(lái)了，這樣更能直觀的體會(huì)到琴弦振動(dòng)條件不同帶來(lái)的影響。但是發(fā)出的聲音不如實(shí)際生活那么和諧

5、美妙（缺少腔體等音樂(lè)元件）。三、具體求解步驟3.1標(biāo)準(zhǔn)齊次弦振動(dòng)的求解如前文所提，對(duì)于這樣一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的齊次弦振動(dòng)問(wèn)題，分離變量法是我們主要所采取的解題方法。設(shè)方程具有的解的形式為：（3-1）將變量t與變量x分離開(kāi)后，代入原方程，得到：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（3-2）（3-3）令：（3-4）此時(shí)，得到兩個(gè)常微分方程：（3-5），（3-6）代入邊界條件，得到：（3-7）由于不是我們需要的解，對(duì)T（t）不能恒為0，所以對(duì)于X（x），我們可以得到：（3-8）這樣一來(lái)，我們可以得到常微分方程滿足邊界條件的平凡解。當(dāng)時(shí)，原方程的邊值問(wèn)題就只

6、有零解。當(dāng)時(shí)，原方程的通解為：（3-9）代入邊界條件，得：（3-10）（3-11）解得的結(jié)果為,A=0,。為了使X（x）不恒為0，應(yīng)有，亦即，則：文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（3-12）相應(yīng)的特征函數(shù)為，其中Bn為任意非零常數(shù)，對(duì)應(yīng)每一個(gè)特征值方程的解是（3-13）其中，Cn,Dn為任意常數(shù)。我們得到原方程一系列特解為：（3-14）為了求出滿足的解，我們將作傅立葉拓展，把每一項(xiàng)全部疊加起來(lái)，則：（3-15）為了確定系數(shù)Cn，Dn，將方程代入初始條件，得（3-16）之后即可解出Cn，Dn：（3-17）（3-18）3.2實(shí)際弦振動(dòng)的求解

7、對(duì)于第二節(jié)一開(kāi)始提出的一維實(shí)際琴弦振蕩問(wèn)題，我們將實(shí)際參數(shù)代入公式中。這里，取考慮到弦樂(lè)器的常見(jiàn)技法就是撥弦，撥弦即用手指把琴弦撥離平衡位置。使其振動(dòng)發(fā)聲。這相當(dāng)于在X=a處把弦拉高到高度h，然后松開(kāi)，使其自由振動(dòng)，即弦振動(dòng)的初始位移不為零而初速度為零。文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)假設(shè)在琴弦的正中間撥弦，則a=L/2，取值為434mm，撥弦高度h為4mm?？梢缘玫剑耗敲矗藭r(shí)的波動(dòng)方程表達(dá)式為：（3-19）X為坐標(biāo)，t為時(shí)間，如果我們?nèi)∠疑先齻€(gè)具有代表性的點(diǎn)，根據(jù)琴弦的對(duì)稱性，就可以大致了解整個(gè)弦的振動(dòng)情況；為此，我們不妨選取

8、x=L/6,x=L/3,x=L/2三個(gè)點(diǎn)作為特征點(diǎn)。此時(shí)，分別令x=L/6,x=L/3,x=L/2，代入（3-19），有：（3-20）（3-21）（3-22）（2）若不是在琴弦的正中間撥弦，是在a=L/3處撥弦，則此時(shí)的波動(dòng)方程為：（3-23）僅僅是最前端系數(shù)發(fā)生變化，不影響我們對(duì)問(wèn)題的研