常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別法

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1、§11.311.3.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性判別法則第十一章11.3.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其收斂性判別定理11.3.3絕對(duì)收斂與條件收斂11.3.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂性判別法若定理11.4.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和序列有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”故有界.都有定理11.5(比較判別法)設(shè)且存在對(duì)一切有(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則弱級(jí)數(shù)(2)若弱級(jí)數(shù)則強(qiáng)級(jí)數(shù)證:設(shè)對(duì)一切則有收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.分別表示弱級(jí)數(shù)和強(qiáng)級(jí)數(shù)的部分和,則有是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),(常數(shù)k>0),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2、(1)若強(qiáng)級(jí)數(shù)則有因此對(duì)一切有由定理1可知,則有(2)若弱級(jí)數(shù)因此這說(shuō)明強(qiáng)級(jí)數(shù)也發(fā)散.也收斂.發(fā)散,收斂,弱級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.討論p級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知p級(jí)數(shù)收斂.2)若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束后一為幾何級(jí)數(shù),公比為該級(jí)數(shù)收斂.調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)是兩個(gè)常用的比較級(jí)數(shù).若存在對(duì)一切證明級(jí)數(shù)發(fā)散.證:因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束比較判別法的極限形式則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)

3、散;(2)當(dāng)l=0(3)當(dāng)l=∞設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足(1)當(dāng)0

4、定理4可知:級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;定理5.根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)則數(shù),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.說(shuō)明:例7.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂。機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.討論級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂。例8.研究級(jí)數(shù)的斂散性．所以級(jí)數(shù)是收斂的。解.由于內(nèi)容小結(jié)2.判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P2631(2),(3),(4),(6);2(4),(6);3(1),(2)第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂

5、,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束備用題1.判別級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.不是p–級(jí)數(shù)(2)發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.11.3.2、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).定理1.(Leibnitz判別法)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)收斂,且其和其余項(xiàng)滿足機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束收斂收斂例1用Leibnitz判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束11.3.3、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)若若原級(jí)數(shù)收斂,但取絕對(duì)值以后

6、的級(jí)數(shù)發(fā)散,則稱原級(jí)收斂,數(shù)為條件收斂.均為絕對(duì)收斂.例如：絕對(duì)收斂；則稱原級(jí)數(shù)條件收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理11.9絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂.證:設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂且收斂,令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂:證:(1)而收斂,收斂因此絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(2)令因此收斂,絕對(duì)收斂.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz判別法:則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂概念:絕對(duì)收斂條件收斂機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)作業(yè)P2634(1),(3),(5)1.則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)絕對(duì)收斂;(C)條件收斂;(D)收斂性根據(jù)條件不能確

7、定.分析:∴(B)錯(cuò);又C