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1、第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、隱函數(shù)的微分法一、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則以二元函數(shù)為例，討論復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。設(shè)函數(shù)，而u，v又都是x，y的函數(shù)于是是和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中u和v為中間變量。關(guān)于這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們有如下的定理：定理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，在相應(yīng)的點(diǎn)(u,v)處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處有偏導(dǎo)數(shù)，其滿足：設(shè)自變量x有一改變量Δx,則相應(yīng)地，u和v有改變量——證明：只證第一個(gè)公式，第二個(gè)可同理證明。函數(shù)在相應(yīng)點(diǎn)(u,v)
2、處相應(yīng)于Δx的全增量—由于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以其中上式兩邊同除以得當(dāng)時(shí)，而這樣，就有所以因而必有成立。同理可證多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則又形象地成為鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則。例1設(shè)函數(shù)解：-------對(duì)于具有三個(gè)中間變量的函數(shù)u，v，w分別是x，y的函數(shù)，有其中解：令-例2設(shè)函數(shù)-則所以------當(dāng)然我們同理也可求得下面我們?cè)儆懻搸追N形式的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：（1）則稱(chēng)之為全導(dǎo)數(shù)。例3設(shè)函數(shù)解：令-故--（2）例4設(shè)函數(shù)解：令（3）抽象函數(shù)的求導(dǎo)方法及記號(hào)例5設(shè)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求-則于是解：---例6解：注意：上式中
3、的與不是一個(gè)概念。例7設(shè)求-解：-例8設(shè)求解：--二、隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程F（x,y）=0在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)能夠確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f（x,y），它滿足條件y0=f(x0),且有公式-證明：僅推導(dǎo)公式。由于方程F（x，y）=0滿足定理中的條件，所以它可以確定一個(gè)單值函數(shù)y=f(x,y)，這時(shí)有兩邊對(duì)x求導(dǎo)得再由已知條件有-例9求由方程所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)。-解：設(shè)-
4、則--所以--隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且則方程F（x,y,z）=0在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)能夠確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f（x,y,z），它滿足條件z0=f(x0,y0),且有公式--證明：（略）例10設(shè)--求解：設(shè)--則--所以------------
