[考研數(shù)學(xué)]北京航天航空大學(xué)線性代數(shù) 1-3.ppt

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1、第三節(jié)行列式按行(列)展開定義在n階行列式D中，劃掉元素aij所在的第i行和第j列后留下的n?1階行列式稱為元素aij的余子式。記作Mij.稱為aij的代數(shù)余子式.例如定理３.1n階行列式D=

2、aij

3、n等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即證定理3.2n階行列式D中某一行（列）的各個(gè)元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零。即或證明我們只證第一個(gè)式子。等號(hào)左端的表達(dá)式可視為一個(gè)行列式按第i行的展開式，該行列式的特點(diǎn)是：第i行的元素就是D中第k行的元素，而且它的第i行與D的第i行對(duì)應(yīng)的元素有相同的代數(shù)余子式。于是知該行列式為ik由于B中第i行與第

4、k行相同，則B＝0，故同理可證證畢把定理3.1及定理3.2結(jié)合起來(lái),便得到了兩個(gè)重要公式：設(shè)n階行列式D，則例1計(jì)算行列式解例2計(jì)算行列式D=

5、aij

6、n，其中aij=

7、i?j

8、.解：寫出此行列式觀察其特征=(?1)n+1(n?1)2n-2.例3計(jì)算n階行列式解按第1列展開而所以練習(xí)：計(jì)算行列式的展開定理3.1可以進(jìn)一步推廣。為此我們將元素的余子式和代數(shù)余子式的概念加以推廣。定義在n階行列式D中選取k行、k列(1?k?n)，由這些行、列相交處的元素所構(gòu)成的k階行列式，稱為D的k階子式。記作N。在行列式D中去掉k階子式N所在行、列以后得到的n?k階行列式稱為該k階子式的余子式。記作M。

9、若N所在的行序數(shù)為i1,i2,···,ik，所在的列序數(shù)為j1,j2,···,jk，那么稱做N的代數(shù)余子式。定理3.3[拉普拉斯(Laplace)定理]設(shè)在n階行列式D中任意選取k個(gè)行（列）(1?k?n-1)，找出位于這k行（列）中的一切k階子式N1,N2,···,Nt及其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式A1,A2,···,At，則有其中例4計(jì)算五階行列式解利用定理3.3，把行列式D按前二行展開，前二行共有C52=10個(gè)二階子式，但其中不為0的只有三個(gè)與N1,N2,N3對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為所以例5計(jì)算2n階行列式解法1按第一行展開有以此作遞推公式，即可得解法2利用定理3.3，按第n,n+1行這兩行

10、展開行列式，立即可得例6計(jì)算n階行列式例7計(jì)算2n階行列式例3證明證明對(duì)階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法