[考研數(shù)學(xué)]北京航天航空大學(xué)線性代數(shù) 2-5.ppt

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1、§5幾種特殊類型的矩陣一單位矩陣數(shù)量矩陣對角形矩陣二對稱矩陣與反對稱矩陣三上(下)三角形矩陣四正交矩陣單位矩陣數(shù)量矩陣對角形矩陣對于任何矩陣Am?n有:單位矩陣在矩陣乘法中起著類似于數(shù)1的作用特別,當(dāng)為A階方陣時,有單位矩陣數(shù)量矩陣?yán)镁仃嚨某朔ㄟ\算,對于任意n階方陣A有即用數(shù)量矩陣左(或右)乘方陣A等于數(shù)k乘矩陣A,即數(shù)量矩陣在矩陣的乘法中的作用相當(dāng)于一個數(shù).對角形矩陣定義方陣的非主對角線的元素全部為零,即形如:的矩陣,稱為對角形矩陣.數(shù)量矩陣,單位方陣是對角形矩陣的特例.對角形矩陣的性質(zhì)1.兩個對角形矩陣的和、差、積仍為對角形矩陣

2、;2.以對角形矩陣左(右)乘矩陣A,相當(dāng)于將對角形矩陣的各行(列)元素乘A相應(yīng)的行(列)的各個元素,即:3.若對角形矩陣可逆,則它的逆矩陣仍為對角形矩陣,且對稱矩陣與反對稱矩陣定義設(shè)A=(aij)為n階方陣,如果有A?=A,即aij=aji(i,j=1,2,…,n),則稱A是對稱矩陣.如果有A?=–A,即aij=–aji(i,j=1,2,…,n),則稱A是反對稱矩陣.注:反對稱矩陣必有aii=0(i=1,2,…,n).例如是對稱矩陣.是反對稱矩陣.對稱矩陣的性質(zhì)1.設(shè)A,B都是對稱矩陣,則A+B,kA仍是對稱矩陣;2.設(shè)A為m?n矩陣

3、,則AA?與A?A都是對稱矩陣;3.如果A是可逆的對稱矩陣,則A-1是對稱矩陣.證明1.顯然.2.A?A是n階方陣,且(A?A)?=A?(A?)?=A?A.因此A?A是n階對稱矩陣.同理AA?是m階對稱矩陣.3.由A對稱,即A?=A.從而A-1A=A-1A?=E.即A-1=(A?)-1=(A-1)?,所以A-1為對稱矩陣.反對稱矩陣的性質(zhì)1.設(shè)A,B都是反對稱矩陣,則A+B,kA(k?0)仍是反對稱矩陣.2.如果A是可逆的反對稱矩陣,則A-1是反對稱矩陣.證明2.由(A-1)?=(A?)-1,則(A-1)?=(A?)-1=(–A)-1

4、=–A-1.因此A-1是反對稱矩陣.注意奇數(shù)階反對稱矩陣一定不可逆.證因為由已知得所以AB–BA為對稱矩陣.例1設(shè)A為n階反對稱矩陣,B為n階對稱矩陣,試證AB–BA為對稱矩陣.上(下)三角型矩陣定義主對角線下方的元素全為零(即i>j時,aij=0)的方陣稱為上三角矩陣,即1.兩個n階上三角矩陣的乘積仍為上三角型矩陣,并且主對角線的元素為原先兩個矩陣的主對角線元素的相應(yīng)的乘積,即:上三角形矩陣性質(zhì)上三角形矩陣A的可逆的充分必要條件是:即A的主對角線元素全不為零.2.若上三角形矩陣A是可逆的,則其逆矩陣A-1也是上三角形矩陣,并且:證明

5、設(shè)要說明A-1是上三角形矩陣,即i>j時,cij=0.考察A-1的第j(j=1,2,…,n-1)列元素c1j,c2j,…,cnj.由AA-1=E與矩陣相等的定義，得第j列即n-j個等式最后n-j個等式說明cj+1j,cj+2j,…,cnj是下列齊次線性方程組的解.此方程組系數(shù)行列式不為零,因此只有零解.因此cj+1j=cj+2j=…=cnj=0,j=1,2,…,n-1.說明A-1是上三角形矩陣.下面證明cii=aii-1.將上述結(jié)果代入第j個方程,得ajjcjj=1,即cii=aii-1.下三角形矩陣與上三角形矩陣的性質(zhì)類似.正交矩陣

6、定義實數(shù)域上的方陣A如果滿足AA?=A?A=E,則稱A為正交矩陣.例如都是正交矩陣.結(jié)論實數(shù)域上的方陣A是正交矩陣的充分必要條件是A-1=A?.正交矩陣的性質(zhì)1.正交矩陣是滿秩矩陣,且

7、A

8、=1或

9、A

10、=–1.2.正交矩陣的逆矩陣及轉(zhuǎn)置矩陣仍為正交矩陣.3.若A,B都是正交矩陣,則AB也是正交矩陣.4.正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1.不同兩行(列)的對應(yīng)元素乘積之和等于零.證正交矩陣有:利用矩陣乘法與矩陣相等的定義，得解所以它不是正交矩陣．考察矩陣的第一列和第二列，由于例判別下列矩陣是否為正交陣．所以它是正交矩陣．由于解