資源描述：
《數字特征與特征函數課件.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第四章數字特征與特征函數4.1數學期望作業(yè)題P2452，3，5，7，12，14，24，25，26，28，31，58例、甲、乙兩人進行打靶，擊中的環(huán)數分別記為ξ,η，它們的分布律分別為：評定他們成績的好壞。ηp89100.20.50.3ξp89100.30.10.6分布函數—全面刻畫了隨機變量的取值規(guī)律特征數字—從某個側面刻畫隨機變量的特征例如：數學期望：刻畫隨機變量的平均取值方差：刻畫隨機變量取值的偏離程度若統(tǒng)計100天,引例某車間對工人的生產情況進行考察.車工小張每天生產的廢品數ξ是一個隨機變量.(假定
2、小張每天至多出3件廢品)，那么如何定義ξ的平均值呢？32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數為這個數能否作為ξ的平均值呢？一平均值與加權平均值可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數為一般來說,若
3、統(tǒng)計n天,這是以頻率為權的加權平均由頻率和概率的關系不難想到，在求廢品數ξ的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權的加權平均這樣得到一個確定的數.我們就用這個數作為隨機變量ξ的平均值.定義設ξ是離散型隨機變量，它的分布律是:P{ξ=ξk}=pk,k=1,2,…如果絕對收斂,定義ξ的數學期望為，簡稱期望，又稱均值。注：1、為什么要絕對收斂？2、為什么稱為“數學期望”？3、為什么又簡稱”均值”.？二、離散型場合“數學期望”名稱的來歷—分配賭金問題甲乙兩賭徒賭技相同，各出500元做賭金，假設沒有和局
4、。雙方約定：先勝滿三局者得全部賭金1000元?，F在甲二勝一負卻因故要退出比賽，問如何公平分配賭金？方法一：平均分，每人500元方法二：甲得三分之二，乙得三分之一方法三：依照約定按個人勝的可能性分數學期望有可能不存在設隨機變量ξ取值為其對應概率為盡管但是所以，ξ的數學期望不存在求二項b(n,p),泊松P(λ)，幾何分布的數學期望ξ~b(n,p),E(ξ)=npξ~b(1,p),E(ξ)=pξ~P(λ),E(ξ)=λξ~幾何分布，E(ξ)=1/p隨機變量總是在其數學期望附近取值概率較大三、應用實例例1（買彩票
5、的期望所得）發(fā)行彩票10萬張，每張1元。設一等獎1個，獎金一萬；二等獎2個，獎金各5000；三等獎10個，獎金各1000；四等獎100個，獎金各100；五等獎1000個，獎金各10元。用ξ表示每張彩票的所得，則ξ10450001000100100E(ξ)例2（保險中如何確定保費）收取保費的原則：被保險人交的“純保險費”=被保險人期望得到的賠償金設出事概率為p，有N個人參保，每人交保險費a，每人的出事賠償金b，出事的人數為ξ，則應有例3（投資決策）某人有10萬元現金，想投資某項目，預估成功機會為0.3，可得
6、利潤8萬，失敗機會為0.7，將損失2萬。若不投資而存入銀行，同期間利率為0.05，問是否應做此項投資？若不投資，存入銀行的利潤為10×0.05=0.5萬例、在一個人數為N的人群中普查某種疾病，為此要抽查這N個人的血。有兩種方法：一是將每個人的血分別檢驗，這樣就要做N次化驗；二是按k個人一組進行分組，對每一組只化驗其混合血液，如果某小組混合血液呈陰性反應（該組無人患?。?，則該組只做一次化驗，如果該小組混合血液呈陽性反應（該組至少有一人患?。瑒t再對該組每個人的血液進行化驗，以此來確定患病的人數。假設該疾病的
7、發(fā)病率為p，問如何分組（即k取多少）能減少平均化驗次數？令ξ表示每個人的血需要化驗的次數，則其分布列為ξ1/k1+1/kP(1-p)k1-(1-p)k例如我們可以計算p=0.1時，不同k對應的E(ξ)值k2345810303334E(ξ)0.690.6040.5940.610.6950.7510.9910.9941.0016四、連續(xù)型場合定義設ξ是連續(xù)型隨機變量，其密度函數為p(ξ),如果有限,定義ξ的數學期望為例：某新產品在未來市場上的占有率ξ是(0,1)上取值的r.v.，其概率密度為試求平均市場占有率
8、。求均勻分布，正態(tài)分布，指數分布的期望ξ~U(a,b),則E(ξ)=(a+b)/2ξ~N(μ,σ2),則E(ξ)=μξ~Eξp(λ),則E(ξ)=1/λ例：某商店對某種家用電器的使用采取先使用后付款的方式，記使用壽命為ξ(年)，規(guī)定設壽命ξ服從的分布函數為：求該商店一臺收費η的數學期望。五、一般場合（略）六、隨機變量函數的期望定理4.1.1設η=g(ξ)是隨機變量ξ的函數，g(ξ)是一元Borel函數，若E(g(ξ))存在，則
