CH3傅里葉變換ppt課件.ppt

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1、第三章傅里葉變換◆信號(hào)的正交分解◆傅里葉級(jí)數(shù)◆周期信號(hào)的頻譜◆傅里葉變換◆抽樣信號(hào)與抽樣定理引言傅里葉級(jí)數(shù)的發(fā)展史：1807年，法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉提出“任何”周期信號(hào)都可以利用正弦級(jí)數(shù)來表示。1829年，狄義赫利指出，周期信號(hào)只有滿足了若干限制條件，才能用傅里葉級(jí)數(shù)來表示。傅里葉級(jí)數(shù)與變換的應(yīng)用物理學(xué)、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等。EG：反映地球氣候的周期性變化很自然地會(huì)引入正弦信號(hào)；交流電源產(chǎn)生的正弦電壓和電流；無線電臺(tái)和電視臺(tái)發(fā)射的信號(hào)都是正弦的。一、正交函數(shù)與正交函數(shù)集設(shè)f1(t)和f2(t)是定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個(gè)實(shí)變

2、函數(shù)(信號(hào))，若在(t1,t2)區(qū)間上有則稱f1(t)和f2(t)在(t1,t2)內(nèi)正交。3.1信號(hào)的正交分解若f1(t)，f2(t),…,fn(t)定義在(t1,t2)區(qū)間上，并且在(t1,t2)內(nèi)有則{f1(t)，f2(t),…,fn(t)}在(t1,t2)內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中i,r=1,2,…,n;Ki為一正數(shù)。{f1(t)，f2(t),…,fn(t)}稱為歸一化正交函數(shù)集。二、完備的正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集{f1(t)，f2(t),…,fn(t)}之外，找不到另外一個(gè)非零函數(shù){fi(t)}與該函數(shù)集中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集

3、。定理1:設(shè){f1(t)，f2(t),…,fn(t)}在(t1,t2)區(qū)間內(nèi)是某一類信號(hào)(函數(shù))的完備正交函數(shù)集，則這一類信號(hào)中的任何一個(gè)信號(hào)f(t)都可以精確地表示為{f1(t)，f2(t),…,fn(t)}的線性組合。式中，Ci為加權(quán)系數(shù)，且有常稱正交展開式，有時(shí)也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級(jí)數(shù)，Ci稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。式子可以理解為：f(t)的能量等于各個(gè)分量的能量之和，即反映能量守恒。定理2也稱為帕塞瓦爾定理。定理2在式條件下，有〔例3.1.1〕已知余弦函數(shù)集{cost,cos2t,…,cosnt}(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2π)

4、內(nèi)為正交函數(shù)集；(2)該函數(shù)集在區(qū)間(0，2π)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎?(3)該函數(shù)集在區(qū)間(0，π/2)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎?解:(1)因?yàn)楫?dāng)i≠r時(shí)可見該函數(shù)集在區(qū)間(0，2π)內(nèi)滿足正交函數(shù)集的定義式，故它在區(qū)間(0，2π)內(nèi)是一個(gè)正交函數(shù)集。當(dāng)i=r時(shí)(2)因?yàn)閷?duì)于非零函數(shù)sint，有即sint在區(qū)間(0，2π)內(nèi)與{cosnt}正交。故函數(shù)集{cosnt}在區(qū)間(0，2π)內(nèi)不是完備正交函數(shù)集。(3)當(dāng)i≠r時(shí)對(duì)于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義，該函數(shù)集{cosnt}在區(qū)間(0,π/2)內(nèi)不是正交函數(shù)集。結(jié)論：一個(gè)函數(shù)集是否正交，

5、與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。三、常見的完備正交函數(shù)集三角函數(shù)集{cosnωt，sinnωt}(n=0,1,2…)在區(qū)間（t0,t0+T）內(nèi)，有ωωωωωωω在（t0,t0+T）區(qū)間內(nèi)，三角函數(shù)集對(duì)于周期為T的信號(hào)組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集(其完備性在此不討論)。而函數(shù)集{cosnωt},{sinnωt}，也是正交函數(shù)集，但它們均不是完備的。(2)函數(shù)集在（t0,t0+T）區(qū)間內(nèi)，對(duì)于周期為T的一類周期信號(hào)來說，也是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。ω(3)函數(shù)集在區(qū)間(-∞，∞)內(nèi)，對(duì)于有限帶寬信號(hào)類來說是一個(gè)完備的正交函

6、數(shù)集。這里稱為抽樣函數(shù)。3.2周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)形式：從數(shù)學(xué)上講，當(dāng)周期信號(hào)滿足狄里赫利條件時(shí)才可展開為傅里葉級(jí)數(shù)。（1）在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)存在，則間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)應(yīng)是有限的；（2）在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的個(gè)數(shù)是有限的；（3）在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)時(shí)絕對(duì)可積的。但在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的周期信號(hào)一般都能滿足這個(gè)條件，故以后一般不再特別注明此條件。周期信號(hào)可分解為(三角型傅里葉級(jí)數(shù)):周期信號(hào)可以分解為各次諧波之和。稱為周期信號(hào)f(t)的余弦型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。另一種形式:任何周期信號(hào)，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為

7、許多頻率成整數(shù)倍關(guān)系的正(余)弦信號(hào)的線性組合。在三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式中，a0是直流成分；a1cosωt,b1sinωt稱為基波分量，w=2π/T為基波頻率；ancosωnt,bnsinωnt稱n次諧波分量。直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于周期信號(hào)的波形。有：an是nω的偶函數(shù)，bn是nω奇函數(shù)，〔例3.2.1〕如圖所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:由圖可知，該信號(hào)f(t)在一個(gè)周期區(qū)間(-π,π)內(nèi)，有由三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式，得故該信號(hào)f(t)的三角型傅里葉級(jí)數(shù)展開式為ωωωωω二、指數(shù)形式與三角型傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)關(guān)系三、周

8、期信號(hào)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系1、偶函數(shù)若周期信