2016高考理科數(shù)學專題突破三數(shù)列.docx

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1、2016高考理科數(shù)學專題突破三　高考中的數(shù)列問題考點自測1．公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且－3a1，－a2，a3成等差數(shù)列，若a1＝1，則S4等于(　　)A．－20B．0C．7D．40答案　A解析　設等比數(shù)列{an}的公比為q，其中q≠1，依題意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0.即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，故選A.2．數(shù)列{an}中，已知對任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于(　　)A．(3n－1)2

2、B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)答案　B解析　a1＝2，a1＋a2＋…＋an＝3n－1，①n≥2時，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，②①－②得an＝3n－1·2(n≥2)，n＝1時，a1＝2適合上式，∴an＝2·3n－1.∴a＋a＋…＋a＝＝＝(9n－1)．3．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，S50＝0.設bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，則當數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時，n的值是(　　)A．23B．25C．23或24D．23或25答案　D解析　因為S50＝(a1＋a50)＝25(a25＋a26)＝

3、0，a1>0，所以a25>0，a26<0，所以b1，b2，…，b23>0，b24＝a24a25a26<0，b25＝a25a26a27>0，b26，b27，…<0，且b24＋b25＝0，所以當數(shù)列{bn}的前n項和Tn取得最大值時，n的值為23或25.4．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝an－，若11時，Sn－1＝an－1－，∴an＝an－an－1，∴an＝－2an－1，又a1＝－1，∴{an}為等比數(shù)列，且an＝－(－2)n－1，∴Sk＝，由1

4、9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.5．把一數(shù)列依次按第一個括號內一個數(shù)，第二個括號內兩個數(shù)，第三個括號內三個數(shù)，第四個括號內一個數(shù)，…循環(huán)分為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，則第50個括號內各數(shù)之和為________．答案　392解析　將三個括號作為一組，則由50＝16×3＋2，知第50個括號應為第17組的第二個括號，即第50個括號中應是兩個數(shù)．又因為每組中含有6個數(shù)，所以第48個括號的最末一個數(shù)為數(shù)列{2n－1}的第16×6＝96項，第50個括號的第一個數(shù)應為數(shù)列

5、{2n－1}的第98項，即為2×98－1＝195，第二個數(shù)為2×99－1＝197，故第50個括號內各數(shù)之和為195＋197＝392.故填392.題型一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題例1　設{an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項；(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解　(1)由已知得解得a2＝2.設數(shù)列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2

6、＝0.解得q1＝2，q2＝.∵q>1，∴q＝2，∴a1＝1.故數(shù)列{an}的通項為an＝2n－1.(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差數(shù)列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝·ln2.故Tn＝ln2.思維升華　(1)正確區(qū)分等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中公比等于1的等比數(shù)列也是等差數(shù)列．(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉化，若數(shù)列{bn}是一個公差為d的等差數(shù)列，則{abn}(a>0，a≠1)就是一個等比數(shù)列，其公比q＝ad；反之，若數(shù)列{

7、bn}是一個公比為q(q>0)的正項等比數(shù)列，則{logabn}(a>0，a≠1)就是一個等差數(shù)列，其公差d＝logaq.　已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝1，公差d>0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{bn}的第2項、第3項、第4項．(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)設數(shù)列{cn}對n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2013.解　(1)由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2(因為d>0).∴an＝1＋(n－1)·2＝2n－

8、1.又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴數(shù)列{bn}的公比為3，∴bn＝3·3n－2＝3n－1.(2)由＋＋…＋＝an＋1