維數(shù)基與坐標.docx

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1、第六章線性空間本次課的內(nèi)容：§3維數(shù)?基與坐標§4基變換與坐標變換目的要求：掌握線性空間維數(shù)、基與坐標的概念復習：掌握過渡矩陣的概念及坐標變換公式.線性空間定義:（1）設V是非空集合，P是一個數(shù)域?"加法（2）V的元素之間定義兩種運算丿莎壬數(shù)乘例如：V對于加法與數(shù)乘封閉，則稱V為P上線性空間.pfx]pn,pn>n，…注：§3維數(shù)?基與坐標第三章n維向量空間的一切定義與性質(zhì)可以搬到任意線性空間中定義2（線性組合線性表出）（1）V是數(shù)域P中的一個線性空間，⑵k!,k2,,k「P,：1,：2,，:rV,（「一1）,（3）:-=k^k2：2kr：r向

2、量組〉1,〉2,-,亠是一個線性組合。稱向量:可以用向量〉1「2,…，〉r線性表出。定義3（等價）設〉1,〉2,…，〉r；（1）-1,'2/','s（2）是V中的兩個向量組。如果（1）中的每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向量組（1）可以用向量組（2）線性表出。如果（1）與（2）可以互相線性表，那么向量組（1）與（2）稱為等價的。定義4線形看見V中向量r,〉2,…，：「（「-1）成為線形相關(guān)，如果在數(shù)域P中有r個不全為零的數(shù)k1,k2,,kr，使心「k2：2亠亠kr：r=0。（3）如果向量〉1」2,…，〉r不線形相關(guān)，就稱為線形無關(guān)。

3、換句話說，向量組〉1,〉2，…r稱為線形無關(guān)，如果等式（3）只有在匕=k2二…二kr-0時才成立。性質(zhì)：1.單個向量組□線性相關(guān)的充分必要條件是?=0.兩個以上的向量?1?2ar線性相關(guān)的充分必要條件是其中有一個向量是其余的線性組合.2?如果向量組〉1,：?2,…，亠線性無關(guān)，而且可以被■-1,■-2/-,■-s線性表出，那么r

4、知道，對于幾何空間中的向量，線性無關(guān)的向量最多是3個，而任意4個向量都是線性相關(guān)的.對于n個元數(shù)組所組成的向量空間，有n個線性無關(guān)的向量.而任意n+1個向量都是線性相關(guān)的.在一個線性空間中，究竟最多能有幾個線性武官的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性.我們引入定義5(1)如果在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量，(2)沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量，那么V稱為無限維的.問題1:P'xlpn,Pnn，-它們維數(shù)各是多少？問題2：n維向量的維數(shù)與線性空間的維數(shù)區(qū)別是什么？無限維空間是一個專門

5、研究的對象，它與有限維空間有比較大的差別.在本課程中，我們主要討論有限維空間.在解析幾何中我們看到，為了研究向量的性質(zhì)，引入坐標是一個重要的步驟.對于有限維空間，坐標同樣是一個有力的工具.］例幾何空間中引入了坐標，任意向量可以由極大無關(guān)組線性表示3■v2=10+21+302=X11+X21+X3013丿?1<3>1<1>?定義6(1)在n維線性空間V中，n個線性無關(guān)的向量jj,…，；n稱為V的一組基.(2)設〉是V中任一向量，于是；i,遼,…，；線性相關(guān)，因此■■可以被基%；2，…，線性表出：〉=6?a2；2…?an；n，其中系數(shù)a!,a2/,

6、an是被向量［和基；i,②…，；n唯一確定的，這組數(shù)就稱為［在基；!,；2，…,；n下的坐標，記為(ai,a2,,an).問題：(1)基與維數(shù)的關(guān)系是什么？(2)不知道維數(shù)如何確定基的個數(shù)？由以上定義看來，在給出的空間V中的一組基之前，必須先確定V的維數(shù).實際上這兩個問題是同時解決的.定理1(1)V為線性空間(2)〉1,〉2,…，〉n為線性無關(guān)的向量(3)V中任一向量都可以用它們線性表出則V是n維的，而',「2,…，〉n就是V的一個基證明既然宀，：^,…，〉n是線性無關(guān)的，那么V的維數(shù)至少是n.為了證明V是n維的,只須證V中n+1個向量必定線性

7、相關(guān).設■1,-2^','nd是V中的任意n+1個向量，它們可以用〉1,〉2,…，:線性表出.假如它們線性無關(guān).就有nWn+1,于是得出矛盾.下面我們來看幾個例子.例1在線性空間pxn中,2nV1,x,x,,x是n個線性無關(guān)的向量，而且每一個次數(shù)小于n的數(shù)域P上的多項式都可以被它們線性表出，所以PXln是n維的，而1,x,…,xnJ就是它的一組基.n_1在這組基下，多項式f(x)=a。?an」x的坐標就是它的系數(shù)(ao,a1,如果在V中取另外一組基；1曰，；2H(X-a),,；nH(X-a)n‘.那么按泰勒展開公式f(x)-f(a)f(a)(x

8、-a)fz(a)(n-1)!(x-nVa)因此,f(x)在基；1,；2,…，；n下的坐標是f(a),f'(a),,(n4)(a)(n-1)!例2在n維