數(shù)值分析拉格朗日插值法.doc

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1、```````````````````````````````````````````數(shù)值分析拉格朗日插值法拉格朗日插值的算法設(shè)計(jì)及應(yīng)用【摘要】本文簡(jiǎn)介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在實(shí)際生活中的運(yùn)用。運(yùn)用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB中的算法程序，并用具體例子說(shuō)明。拉格朗日插值在很多方面都可以運(yùn)用，具有很高的應(yīng)用價(jià)值?！娟P(guān)鍵詞】拉格朗日；插值；公式；算法程序；應(yīng)用；科學(xué)。一、緒論 約瑟夫·拉格朗日(JosephLouisLagrange)，法國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突

2、出。拉格朗日對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的理論也有重要貢獻(xiàn)，提出了描述流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方法。數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類(lèi)是插值方法，另一類(lèi)是擬合函數(shù)一般的說(shuō)，插值法比較適合數(shù)據(jù)準(zhǔn)確或數(shù)據(jù)量小的情形。然而Lagrange插值有很多種，1階，2階,…n階。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算法設(shè)計(jì)及應(yīng)用。二、正文1、基本概念已知函數(shù)y=f(x)在若干點(diǎn)的函數(shù)值=（i=0,1,,n）一個(gè)差值問(wèn)題就是求一“簡(jiǎn)單”的函數(shù)p(x)：p()=,i=0,1,,n,(1)則p(x)為f(x)的插值函數(shù)，而f(x)為被插值函數(shù)會(huì)插值原函數(shù)，，

3、，，...,為插值節(jié)點(diǎn)，式（1）為插值條件，如果對(duì)固定點(diǎn)求f()數(shù)值解，我們稱為一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)，f()p()稱為點(diǎn)的插值，當(dāng)[min(，，，...,)，max(，，，...,)]時(shí)，稱為內(nèi)插，否則稱為外插式外推，特別地，當(dāng)p(x)為不超過(guò)n次多項(xiàng)式時(shí)稱為n階Lagrange插值。2、Lagrange插值公式（1）線性插值設(shè)已知，及=f(),=f(),為不超過(guò)一次多項(xiàng)式且滿足=,=,幾何上，為過(guò)（，），（，）的直線，從而得到=+（x-）.（2）為了推廣到高階問(wèn)題，我們將式（2）變成對(duì)稱式=（x）+(x).其中，（x）=,(x)=。均為1次多項(xiàng)式且滿足（x）=1且(x)

4、=0?；颍▁）=0且(x)=1。兩關(guān)系式可統(tǒng)一寫(xiě)成=。（3）（2）n階Lagrange插值設(shè)已知，，，...,及=f()(i=0,1,.....,n),為不超過(guò)n次多項(xiàng)式且滿足（i=0,1,...n）.易知=（x）+....+.其中，均為n次多項(xiàng)式且滿足式（3）（i,j=0,1,...,n）,再由（ji）為n次多項(xiàng)式的n個(gè)根知=c.最后，由c=,i=0,1,...,n.總之，=，=式為n階Lagrange插值公式，其中，（i=0,1,...n）稱為n階Lagrange插值的基函數(shù)。3，Lagrange插值余項(xiàng)設(shè)，，，...,[a,b],f(x)在[a,b]上有連續(xù)

5、的n+1階導(dǎo)數(shù)，為f(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)，，，...,的n階Lagrange插值多項(xiàng)式，則對(duì)任意x[a,b],其中，位于，，，...,及x之間（依賴于x），(x)=Eg1:已知函數(shù)表sin=0.5000,sin=0.7071,sin=0.8660,分別由線性插值與拋物插值求sin的數(shù)值解，并由余項(xiàng)公式估計(jì)計(jì)算結(jié)果的精度。解：（1）這里有三個(gè)節(jié)點(diǎn)，線性插值需要兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，根據(jù)余項(xiàng)公式，我們選取前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，易知：sin()=0.5000+(-)=0.5000+0.2071=0.6381截?cái)嗾`差，=，得知結(jié)果至少有1位有效數(shù)字。（2）易知sin0.7071+=0.8660=0.

6、6434截?cái)嗾`差為：得知結(jié)果至少有兩位數(shù)字。比較本題精確解sin=0.642787609...,實(shí)際誤差限分別為0.0047和0.00062。4，Lagrange插值算法和程序functionyy=nalagr(x,y,xx)%用途：Lagrange插值法數(shù)值求解；格式：yy=nalagr(x,y,xx)%x是節(jié)點(diǎn)向量，y是節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，xx是插值點(diǎn)（可以多個(gè)），yy返回插值m=length(x);n=length(y);ifm~=n,error('向量x與y的長(zhǎng)度必須一致');ends=0;fori=1:nt=ones(1,length(xx));forj=1

7、:nifj~=it=t.*(xx-x(i))/(x(i)-x(j));endends=s+t*y(i);endyy=s;用以上程序的Eg1的結(jié)果為>>x=pi*[1/61/4];y=[0.50.7071];xx=2*pi/9;>>yy1=nalagr(x,y,xx)yy1=-0.5690>>x=pi*[1/61/41/3];y=[0.50.70710.866];>>yy2=nalagr(x,y,xx)yy2=0.8023>>fplot('sin',[pi/6,pi/3]);holdon;>>plot(x,y,'o',xx,0.6381,'g^',xx,0.6434

8、,'rv'