橋梁設(shè)計(jì)理論第七講_secret

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1、第七講薄壁桿件的組合扭轉(zhuǎn)上二講分別討論了薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)，建立了相應(yīng)的扭轉(zhuǎn)角微分方程。而實(shí)際工程中的桿件受扭時(shí)，扭轉(zhuǎn)角應(yīng)該是自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)的綜合變形。即作用在截面上的扭矩（圖7-1）為自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力（）形成的扭矩及約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力（）形成的扭矩（或）的組合，亦即（或）以及開口截面（7-1-1）閉口截面（7-1-2）a)自由扭轉(zhuǎn)b)約束扭轉(zhuǎn)c)組合扭轉(zhuǎn)圖7-1第一節(jié)開口薄壁桿件組合扭轉(zhuǎn)的微分方程對(duì)于開口薄壁截面桿件自由扭轉(zhuǎn)和約束扭轉(zhuǎn)，分別取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有（7-2）上式對(duì)求導(dǎo)（見圖

2、7-2a）），兩邊同時(shí)除以，得：（7-3）此式即為開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)角微分方程。式中：（7-4）稱為薄壁截面的彎扭特征。即截面自由扭轉(zhuǎn)剛度和約束扭轉(zhuǎn)剛度之比。而（7-5）為扭矩沿桿長(zhǎng)的分布集度。第二節(jié)閉口薄壁桿件組合扭轉(zhuǎn)的微分方程對(duì)于閉口薄壁桿件，仍從式（7-1）出發(fā)，此時(shí)約束扭轉(zhuǎn)力矩以待定函數(shù)表示，即用式（6-44）代入，于是組合扭轉(zhuǎn)微分方程可表達(dá)為：（7-6）（7-1）方程中包括兩個(gè)未知函數(shù)及?，F(xiàn)根據(jù)靜力學(xué)條件建立未知量及間的關(guān)系，以便與式（7-6）聯(lián)立求解。設(shè)自由扭轉(zhuǎn)與約束扭轉(zhuǎn)產(chǎn)生的總剪力流為，它對(duì)扭轉(zhuǎn)中心的扭矩應(yīng)等于作

3、用于截面的荷載扭矩。即（7-7）根據(jù)虎克定律并引用式（6-2），剪力流可寫成：或（7-8）而（7-9）（6-15）上式對(duì)求導(dǎo)后代入式（7-8），再將式（7-8）代入式（7-7），積分化簡(jiǎn)得：（7-10）其中：（7-11）稱為截面翹曲系數(shù)。對(duì)于單室截面對(duì)于多室截面而為截面的極慣矩，下同。式（7-10）推導(dǎo)如下：由式（7-8）有：而由式（7-9）有：則式（7-8）的第一項(xiàng)（a）有式（6-13）有：將其代入式（a）得：（7-13）將式（7-13）代入式（7-8）有：（b）又截面內(nèi)剪應(yīng)力與內(nèi)力有如下關(guān)系：將式（b）代入后積分得：（c

4、）又有式（5-46）有：（d）而（e）將及式（d）、（e）代入式（c）可得：故或其中：。若為的二次或二次以下的函數(shù)，即有，則由式（7-10）可得：（7-14）（7-10）將其代入式（7-6），便得出閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)變形微分方程（7-15）（7-6）其中：（7-16）（7-4）比較式（7-15）與式（7-3）和式（7-16）與式（7-4）可以看出，對(duì)于閉口截面，可利用開口截面的扭轉(zhuǎn)微分方程的表達(dá)式，而以代替即可。這一比擬關(guān)系，對(duì)以后直接根據(jù)開口截面的變形公式寫出閉口截面的變形公式，頗為有用。務(wù)必注意，對(duì)于閉口截面，盡管可以用

5、代替，從而直接套用開口截面中關(guān)于扭轉(zhuǎn)角的微分方程，但因閉口截面約束扭轉(zhuǎn)雙力矩及扭轉(zhuǎn)力矩均與的導(dǎo)數(shù)有關(guān)，故由式（7-10）有：（7-17）第三節(jié)扭轉(zhuǎn)角微分方程的初參數(shù)解法扭轉(zhuǎn)角微分方程式（7-3）及式（7-15）為四階常系數(shù)（等截面）非齊次線性方程，其解由齊次解和特解兩部分組成，齊次解將有四個(gè)積分常數(shù)，由問題的邊界條件確定。一、開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)角微分方程的初參數(shù)解法先討論開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)角微分方程式（7-3）的解法。微分方程（7-18）（7-3）其齊次解為：（7-19）據(jù)此，不難求得各階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到扭轉(zhuǎn)角的變化率、約束扭轉(zhuǎn)雙

6、力矩、總扭矩的表達(dá)式。（7-20）（7-21-1）（7-21-2）（7-22）式中積分常數(shù)、、、可表達(dá)為桿件在坐標(biāo)原點(diǎn)處（=0）的扭轉(zhuǎn)角（）、扭轉(zhuǎn)角的變化率（）、雙力矩（）及扭矩（）的函數(shù)。將=0代入式（7-19）、（7-20）、（7-21）及（7-22）有：（7-23）解此方程得：將其代入式（7-19）～（7-22），便得到以初參數(shù)表達(dá)的、、及的解析式：（7-24）（7-19）（7-25）（7-20）（7-26）（7-21）（7-27）-（7-22）式中仍為未定常數(shù)，可根據(jù)初始值的物理意義，由起始點(diǎn)（=0）邊界條件直觀確定

7、。微分方程的特解，可根據(jù)作用在桿件上的扭轉(zhuǎn)荷載形式，利用微分方程的特征方程式，用待定系數(shù)法求得。對(duì)于常見的荷載（圖7-2）包括集中雙力矩，集中力矩，分布扭矩，特解可寫成一般的形式，即a)b)圖7-2（7-28）式中、、、及均表示自計(jì)算截面（）沿坐標(biāo)軸的負(fù)方向量取的距離，故式（7-28）為的線性函數(shù)。式（7-28）對(duì)求導(dǎo)，得到扭轉(zhuǎn)率、雙力矩和扭矩的特解如下：（7-29）（7-30）（7-31）微分方程的通解則為：（7-32）將式（7-24）～（7-27）及式（7-28）～（7-31）代入式（7-32），即得到開口薄壁桿件扭轉(zhuǎn)變

8、形的最后解答式。對(duì)于薄壁桿件扭轉(zhuǎn)的具體問題，先按實(shí)際作用的荷載，列出式（7-32），由于通常情況下荷載沿桿件縱向是不連續(xù)的，故式中必須是分段表達(dá)（見本講算例），然后根據(jù)邊界條件求解初始參數(shù)，再由式（7-32）計(jì)算任意截面的扭轉(zhuǎn)角，扭轉(zhuǎn)率，雙力矩和扭矩。容易看出，這里介紹的初參數(shù)法與梁彎曲理