2、p2.2設隨機向量X=X1,X2'服從二元正態(tài)分布，寫出其聯(lián)合分布密度函數(shù)和X1,X2各自的邊緣密度函數(shù)。聯(lián)合分布密度函數(shù)12πσ1σ2(1-ρ2)1/2exp{-121-ρ2[x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+fx1,x2=x2-μ22σ22]}，x1>0,x2>00,其他x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+x2-μ22σ22=x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+x2-μ22σ22+ρ2x1-μ12σ12-ρ2x1-μ12σ12=[ρx1-μ1σ1-x2-μ2σ2]2+（1-ρ2）x1-μ12σ12所
3、以指數(shù)部分變?yōu)?12{[ρx1-μ11-ρ2σ1-x2-μ21-ρ2σ2]2+x1-μ12σ12}令t=x2-μ21-ρ2σ2-ρx1-μ11-ρ2σ1∴dt=11-ρ2σ2dx2∴fx1=-∞+∞fx1,x2dx2=12πσ1σ2(1-ρ2)1/2exp{-x1-μ122σ12-∞+∞exp(-12t2)11-ρ2σ2dt=12πσ1exp[-x1-μ122σ12]12πσ1exp[-x1-μ122σ12]，x1>0fx1=0，其他同理，12πσ2exp[-x2-μ222σ22]，x2>0fx2=0，其他2.3已知隨機向量X=X1,X2'的聯(lián)合分布密度函數(shù)
4、為fx1,x2=2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2,其中,a≤x1≤b,c≤x2≤d。求：（1）隨機變量各自的邊緣密度函數(shù)、均值與方差。解：fx1=cdfx1,x2dx2=cd2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2dx2=2[d-cx1-a(b-a)2(d-c)2+b-a(b-a)2(d-c)2cd2x2-cdx2-2x1-a(b-a)2(d-c)2cd2x2-cdx2=1b-a同理，fx2=abfx1,x2dx1=ab2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(
5、x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2dx1=1d-c同理可得同理可得（1）隨機變量的協(xié)方差和相關系數(shù)。E(x1)=abx1fx1dx1=abx11b-adx1=b+a2E(x2)=cdx2fx2dx2=cdx21d-cdx2=d+c2E(x12)=abx12fx1dx1=abx121b-adx1=13b2+ab+a2E(x22)=cdx22fx2dx2=cdx221d-cdx2=13d2+dc+c2D(x1)=E(x12)-E(x1)2=112(b-a)2D(x2)=E(x22)-E(x2)2=112(d-c)2Covx1,x2=E(x1x2)-E
6、(x1)E(x2)E(x1x2)=abdx1cdx1x2fx1,x2dx2=162b+ad+c+162d+cb+a-192b+a(2d+c)∴Covx1,x2.=136a-bd-c∴ρ=Covx1,x2D(x1)D(x2)=136a-bd-c112b-ad-c=-13（2）判斷是否獨立?！遞x1fx2=1(b-a)1(d-c)≠fx1,x2∴x1,x2不相互獨立。2.4設隨機向量X=X1,X2，?Xp'服從正態(tài)分布，已知其協(xié)差陣為對角陣，證明的分量是相互獨立的隨機變量?！?1122?ppij=0,i≠j∴xi與xj不相關又∵X=X1,X2，?Xp'服從正態(tài)分
7、布∴xi與xj相互獨立。（i≠j，i，j=1，2，?，p）2.5解：依據(jù)題意，X=57000154020016214501227000144187503612000381219008450001528350813200190210001381200026E(X)=1nα=16x(α)=35650,12.33,17325,152.5'D(X)=1nα=16(xα-x)xα-x'=16799000032416.6732415.66710.888969768750-6140013925-29.8336976875013925-614000-29.833304781
8、25-166562.5-166562.513912.
