乘法公式用大寫(xiě)字母表示更好

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1、乘法公式用大寫(xiě)字母表示更好楊繼明摘要：本文認(rèn)為，乘法公式是初中數(shù)學(xué)有名的教學(xué)難點(diǎn)，它之所以成為難點(diǎn)，除了公式本身的內(nèi)因之外，它的外在表現(xiàn)形式不當(dāng)也是重要原因之一。筆者以為，乘法公式用大寫(xiě)字母表示更好，大寫(xiě)字母可以有效控制乘法公式的難度水平，提高教學(xué)效率。關(guān)鍵詞：乘法公式、公式特征、字母換元、大寫(xiě)字母。在多項(xiàng)式乘法的基礎(chǔ)上，把具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘的式子及其結(jié)果寫(xiě)成公式的形式，就是乘法公式。乘法公式的應(yīng)用十分廣泛，作用十分突出，是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是初中數(shù)學(xué)有名的教學(xué)難點(diǎn)。筆者以為，它之所以成為難點(diǎn)，是由內(nèi)因和外因相互作用而成的，除了公式本身的內(nèi)因之外，它的外在表現(xiàn)形式不當(dāng)也是重要原

2、因之一。（下面的研究一般以平方差公式為例，不再獒述。）在現(xiàn)行的教材中，乘法公式是用小寫(xiě)字母表示的，這是增加教學(xué)任務(wù)，形成教學(xué)難點(diǎn)的重要原因之一。1）乘法公式是初中數(shù)學(xué)中第一個(gè)復(fù)雜的形式化結(jié)構(gòu)，它存在很強(qiáng)的“結(jié)構(gòu)特征”，但它并不象有關(guān)面積的公式那樣有一個(gè)具體的形象作為思維依托，學(xué)生的頭腦中并不存在這樣的結(jié)構(gòu)。所以他在進(jìn)行觀察時(shí)，很難全局性的把公式和具體的題目一一對(duì)應(yīng)，這是乘法公式教學(xué)的內(nèi)在難點(diǎn)。2）學(xué)生進(jìn)入初中后，開(kāi)始系統(tǒng)地與代數(shù)式打交道。在初一學(xué)生眼中，只不過(guò)是一個(gè)極其普通的多項(xiàng)式乘法，卻一下子上升到公式的地位，由于學(xué)生缺乏這種經(jīng)驗(yàn)，使得這種轉(zhuǎn)變表現(xiàn)的比較突然，學(xué)生們對(duì)其轉(zhuǎn)化機(jī)制含糊不清、疑

3、惑不解，當(dāng)套用公式解決問(wèn)題時(shí)顯得非常被動(dòng)，錯(cuò)誤百出。3）乘法公式及其應(yīng)用還包含一個(gè)具體與抽象的辨證關(guān)系問(wèn)題。字母a、b能代表諸如a2b之類(lèi)的式子實(shí)在是很高深的數(shù)學(xué)符號(hào)思想，這種“字母換元”已經(jīng)達(dá)到了抽象思維的一個(gè)高峰，初一學(xué)生在這個(gè)思維高度面前有點(diǎn)無(wú)所適從。他們一時(shí)還無(wú)法從“a就是的a”的思維定勢(shì)中解脫出來(lái)，這給他們?cè)斐闪撕艽蟮乃季S障礙，這并不符合教學(xué)的“最近發(fā)展區(qū)”原則。4）把(a+b)(a–b)=a2+b2當(dāng)作公式，實(shí)際上是把“公式特征”和“字母換元”兩大難點(diǎn)糅合在一起，這絕對(duì)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)尖峰。初一學(xué)生在很大程度上需要依賴(lài)具體形象的經(jīng)驗(yàn)材料來(lái)理解抽象的邏輯關(guān)系，他們的思維仍屬于經(jīng)驗(yàn)型

4、的邏輯思維。學(xué)生的思維水平與知識(shí)難度之間的巨大差異是乘法公式難以掌握的根本原因。因此，降低難點(diǎn)以適應(yīng)學(xué)生的思維水平是乘法公式教材編寫(xiě)與教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教材是科學(xué)性和教育性的統(tǒng)一，科學(xué)的、適合學(xué)生發(fā)展的教材才是好教材。把(a+b)(a–b)=a2+b2直接當(dāng)作初中數(shù)學(xué)公式的學(xué)術(shù)性值得研究。筆者認(rèn)為，乘法公式用大寫(xiě)字母表示更好些，理由如下。把(A+B)(A–B)=A2–B2當(dāng)作初中數(shù)學(xué)中的乘法公式，能夠把“公式特征”和“字母換元”兩大難點(diǎn)進(jìn)行有效的分離，大大降低這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思維高度，使學(xué)生滕出時(shí)間精力解決當(dāng)前的主要矛盾，畢竟此時(shí)的主要教學(xué)目標(biāo)是正確運(yùn)用公式熟練運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)對(duì)公式“結(jié)構(gòu)特征”的理解。

5、至于“字母換元”的思維訓(xùn)練，留待以后恰當(dāng)時(shí)機(jī)再進(jìn)行也不遲。比如：在一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中訓(xùn)練字母的廣泛代表意義就比較好，因?yàn)檫@個(gè)形式比較簡(jiǎn)單，a、b、c之間的運(yùn)算關(guān)系也比較直接，而且那時(shí)學(xué)生的抽象思維能力也已經(jīng)得到了實(shí)質(zhì)性的提高。在乘法公式中使用大寫(xiě)字母，與多年的表達(dá)習(xí)慣是背離的，這一定也會(huì)引發(fā)諸多的質(zhì)疑。因?yàn)樵S多老師把“理解公式中字母的廣泛含義”作為乘法公式教學(xué)的必要目標(biāo)之一。非要在乘法公式的教學(xué)中滲透字母的廣泛含義和換元思想嗎？“字母換元”是乘法公式的題中之意嗎？這是一個(gè)重要的學(xué)術(shù)問(wèn)題。乘法公式的應(yīng)用廣泛，作用突出，是初中數(shù)學(xué)有基礎(chǔ)作用的重要知識(shí)點(diǎn)之一。在知

6、識(shí)順序上，把這個(gè)知識(shí)點(diǎn)放在初一學(xué)習(xí)是恰當(dāng)?shù)模磺‘?dāng)?shù)闹皇撬臍v史表達(dá)形式而已。對(duì)初一學(xué)生的抽象思維能力來(lái)說(shuō)，僅僅乘法公式的“結(jié)構(gòu)特征”就已經(jīng)夠他們理解的了，再加上“字母換元”就太過(guò)分了。在初中階段，對(duì)乘法公式做簡(jiǎn)單處理是必須的，不要讓乘法公式在初一階段承擔(dān)如此重要和艱難的職責(zé)，那只會(huì)給學(xué)生帶來(lái)困難，并對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)造成難以估量的影響。我想，乘法公式的創(chuàng)立者關(guān)注的僅僅是它的“結(jié)構(gòu)特征”，當(dāng)時(shí)用什么字母是無(wú)關(guān)緊要的，用小寫(xiě)字母無(wú)非是歷史的習(xí)慣而已。但當(dāng)小寫(xiě)字母的乘法公式變成教學(xué)的對(duì)象時(shí)，問(wèn)題發(fā)生了改變。教師與學(xué)生不得不面對(duì)“字母換元”的視覺(jué)影響，那么在教學(xué)中滲透字母的廣泛含義和換元思想就成了后人演繹

7、和挖掘的對(duì)象。這是歷史的錯(cuò)誤，前人的隨意所為不應(yīng)成為影響后人的障礙。乘法公式用小寫(xiě)字母表示不是不對(duì)，也不是不好，它體現(xiàn)了一種很高深的數(shù)學(xué)符號(hào)思想。不過(guò)具有比較明顯的成人特征，這是成人的一種思維省略現(xiàn)象，在初一階段強(qiáng)加給學(xué)生是不適宜的。你有沒(méi)有注意分式概念的引入，那是用大寫(xiě)字母表示的?！罢紸除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么稱(chēng)為分式?！雹拍阌袥](méi)有對(duì)這種表示產(chǎn)生過(guò)疑問(wèn)呢？既然字母a具有廣泛