函數(shù)概念 ,復(fù)合函數(shù),分段函數(shù)

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1、函數(shù)及其表示◆教學(xué)目標(biāo)：了解對(duì)應(yīng)和映射概念、理解函數(shù)的近代定義、函數(shù)三要素，以及對(duì)函數(shù)抽象符號(hào)的理解?！糁仉y點(diǎn)：重點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)的近代概念、函數(shù)的三要素及函數(shù)符號(hào)的理解。重點(diǎn)：映射的概念，函數(shù)近代概念，及函數(shù)符號(hào)的理解。教學(xué)步驟及內(nèi)容一．知識(shí)歸納：1．映射（1）映射：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種映射法則f，對(duì)于集合A中的任一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，則這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。（2）象與原象：如果給定一個(gè)從集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a對(duì)應(yīng)的B中的元

2、素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意：（1）對(duì)映射定義的理解。（2）判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是映射的方法。2．函數(shù)（1）函數(shù)的定義①原始定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。②近代定義：設(shè)A、B都是非空的數(shù)的集合，f：x→y是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么從A到B的映射f：A→B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函數(shù)的值域。注意：①CB;②A,B,C均非空（2）構(gòu)成函數(shù)概念的三要素：①定義域②對(duì)應(yīng)法則③值域

3、3．函數(shù)的表示方法：①解析法②列表法③圖象法注意：強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式。二．例題講解：典型例題一：函數(shù)定義例1已知函數(shù)f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)例2函數(shù)y＝與y＝3x是不是同一個(gè)函數(shù)？為什么？【方法、技巧】同一函數(shù)的判斷：一般地，考查、判斷幾個(gè)函數(shù)是否相同，離不開(kāi)函數(shù)的三要素，但是值域由定義域和對(duì)應(yīng)法則所確定的，因此在實(shí)際的解題過(guò)程中，往往只要判斷函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則兩個(gè)方面即可。兩個(gè)函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則分別相等時(shí)，才是同一個(gè)函數(shù)，這說(shuō)明：(1)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)也就不同；4(2)對(duì)應(yīng)

4、關(guān)系不同，兩個(gè)函數(shù)也是不同；(3)即使是定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們也不一定是同一個(gè)函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，y=2x+1與y=x+1例1判斷下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個(gè)函數(shù)，說(shuō)明理由？A.f(x)=(x－1)0；g(x)=1B.f(x)=x；g(x)=C．f(x)=x2；f(x)=(x+1)2D.f(x)=

5、x

6、；g(x)=典型例題二：由解析式求函數(shù)定義域例2求下列函數(shù)的定義域（用區(qū)間表示）f(x)=；f(x)=；f(x)=－例3f(x)＝；f(x)＝＋例4；典型例題三：映射與函數(shù)例5判斷下

7、列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？是不是函數(shù)？4例1已知函數(shù)(1)求x=2，5，8時(shí)的象f(2)，f(5)，f(8)；(2)求f(x)=35，47時(shí)的原象。例2已知映射(1)求x=-3，-2，0，2，3時(shí)的象；(2)求f(x)=10，5，1時(shí)的原象。例3已知，按照對(duì)應(yīng)法則f，不能成為從A到B的映射的是：（）A.B.C.D.三．難點(diǎn)點(diǎn)撥：（復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)）復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳，u=g(x)的值域?yàn)锽，若AB，則y關(guān)于x函數(shù)的y=f［g(x)］叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，即，所以

8、的作用范圍為D，又f對(duì)作用，作用范圍不變，所以，解得，E為的定義域。41.復(fù)合函數(shù)定義域：41.復(fù)合函數(shù)解析式：(1)代入法。已知，求(2)待定系數(shù)法。例如，已知是一次函數(shù)，且，求*(3)拼湊法。例，已知*(4)換元法。例如，已知*(5)方程組法。已知滿足，求的解析式。練習(xí)：1.已知，則=___________；=______________；2.已知；，求的解析式；答案:41.已知是一次函數(shù)，且有，求此一次函數(shù)的解析式；2.已知的最小值；3.已知，求的表達(dá)式；答案：4.已知答案：1.分段函數(shù)：1、分段函數(shù)的定義在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范

9、圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)；2、分段函數(shù)定義域，值域；分段函數(shù)定義域各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”)3、分段函數(shù)圖象畫(huà)分段函數(shù)的圖象，應(yīng)在各自定義域之下畫(huà)出定義域所對(duì)應(yīng)的解析式的圖象；例1、已知函數(shù)y=

10、x－1

11、+

12、x+2

13、(1)作出函數(shù)的圖象。(2)寫(xiě)出函數(shù)的定義域和值域。4例2、某同學(xué)從甲地以每小時(shí)6千米的速度步行2小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地耽擱1小時(shí)后，又以每小時(shí)4千米的速度步行返回甲地。寫(xiě)出該同學(xué)在上述過(guò)程中，離甲地的距離S(千米)和時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系式，并作出函數(shù)圖象。例3、已知函數(shù)f(x)=2

14、x2－2ax+3在區(qū)間[－1，1]上有最小值，記作g(a).(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式(2)