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《高中數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)系列-抽屜原理》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、抽屜原理把八個蘋果任意地放進(jìn)七個抽屜里，不論怎樣放，至少有一個抽屜放有兩個或兩個以上的蘋果．抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則．它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理．把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式．形式一：證明：設(shè)把n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于2（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜2，則因?yàn)閍i
2、是整數(shù)，應(yīng)有ai≤1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1這與題設(shè)矛盾．所以，至少有一個ai≥2，即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素．形式二：設(shè)把n·m＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于m＋1．（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜m＋1，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤m，于是有：a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n·mn個m＜n·m＋1這與題設(shè)相矛盾．所以，
3、至少有存在一個ai≥m＋1高斯函數(shù)：對任意的實(shí)數(shù)x，[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”．例如：[3．5]＝3，[2．9]＝2，[－2．5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我們有：[x]≤x＜[x]＋1形式三：證明：設(shè)把n個元素分為k個集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示這k個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個ai大于或等于[n/k]．（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜[n/k]，于是有：a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k]k個[n/k
4、]＝k·[n/k]≤k·(n/k)＝n∴a1＋a2＋…＋ak＜n這與題設(shè)相矛盾．所以，必有一個集合中元素個數(shù)大于或等于[n/k]形式四：證明：設(shè)把q1＋q2＋…＋qn－n＋1個元素分為n個集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個集合里相應(yīng)的元素個數(shù)，需要證明至少存在某個i，使得ai大于或等于qi．（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜qi，因?yàn)閍i為整數(shù)，應(yīng)有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設(shè)
5、矛盾．所以，假設(shè)不成立，故必有一個i，在第i個集合中元素個數(shù)ai≥qi形式五：證明：（用反證法）將無窮多個元素分為有限個集合，假設(shè)這有限個集合中的元素的個數(shù)都是有限個，則有限個有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個集合含有無窮多個元素．例題１：400人中至少有兩個人的生日相同．分析：生日從1月1日排到12月31日，共有366個不相同的生日，我們把366個不同的生日看作366個抽屜，400人視為400個蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個抽屜里，所以這
6、400人中有兩人的生日相同．解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同．例題２：邊長為1的正方形中，任意放入9個點(diǎn)，求證這9個點(diǎn)中任取3個點(diǎn)組成的三角形中，至少有一個的面積不超過1/8．解：將邊長為1的正方形等分成邊長為的四個小正方形，視這四個正方形為抽屜，9個點(diǎn)任意放入這四個正方形中，據(jù)形式2，必有三點(diǎn)落入同一個正方形內(nèi)．現(xiàn)特別取出這個正方形來加以討論．EFGD把落在這個正方形中的三點(diǎn)記為D、E、F．通過這三點(diǎn)中的任意
7、一點(diǎn)（如E）作平行線，如圖可知：S△DEF＝S△DEG＋S△EFG≤×h＋＝＝例題3：任取5個整數(shù)，必然能夠從中選出三個，使它們的和能夠被3整除．證明：任意給一個整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r０，r1，r2．至少有一類包含所給５個數(shù)中的至少兩個．因此可能出現(xiàn)兩種情況： 1．某一類至少包含三個數(shù)； 2．某兩類各含兩個數(shù)，第三類包含一個數(shù)．若是第一種情況，就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個數(shù)
8、，其和也能被3整除．綜上所述，原命題正確．例題4：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2∶3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn)．證明：如圖，設(shè)PQ是一條這樣的直線，作這兩個梯形的中位線MN．∵這兩個梯形的高相等，∴它們的面積之比等于中位線長的比，即
9、MH
10、∶
11、NH
12、．∴點(diǎn)H有確定的位置．（它在正方形一對對邊中點(diǎn)的連線上，并且
13、MH
14、∶
15、NH
16、＝2∶3）．由幾何上的對稱性，這種點(diǎn)共有四個，即，圖中的H、J、I、K．已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、
