應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

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1、第八章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§8?1概述對于軸向拉壓和平面彎曲中的正應(yīng)力，將其與材料在軸向拉伸（壓縮）時(shí)的許用應(yīng)力相比較來建立強(qiáng)度條件。同樣，對于圓桿扭轉(zhuǎn)和平面彎曲中的切應(yīng)力，由于桿件危險(xiǎn)點(diǎn)處橫截面上切應(yīng)力的最大值，且處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，故可將其與材料在純剪切下的許用應(yīng)力相比較來建立強(qiáng)度條件。構(gòu)件的強(qiáng)度條件為式中，工作應(yīng)力σmax或τmax由相關(guān)的應(yīng)力公式計(jì)算；材料的許用應(yīng)力［σ］或［τ］，應(yīng)用直接試驗(yàn)的方法（如拉伸試驗(yàn)或扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)），測得材料相應(yīng)的極限應(yīng)力并除以安全因數(shù)來求得。但是，在一般情況下，受力構(gòu)件內(nèi)的一點(diǎn)處既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力，這時(shí)，一

2、方面要研究通過該點(diǎn)各不同方位截面上應(yīng)力的變化規(guī)律，從而確定該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力及其所在截面的方位。受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處所有方位截面上應(yīng)力的集合，稱為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。另一方面，由于該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)較為復(fù)雜，而應(yīng)力的組合形式又有無限多的可能性，因此，就不可能用直接試驗(yàn)的方法來確定每一種應(yīng)力組合情況下材料的極限應(yīng)力。于是，就需探求材料破壞（斷裂或屈服）的規(guī)律。如果能確定引起材料破壞的決定因素，那就可以通過較軸向拉伸的試驗(yàn)結(jié)果，來確定各種應(yīng)力狀態(tài)下破壞因素的極限值，從而建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件，既強(qiáng)度理論。研究一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，往往圍繞該點(diǎn)取一個(gè)無

3、限小的正六面體——單元體來研究。作用在單元體各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布的。如果單元體一對截面上沒有應(yīng)力，即不等于零的應(yīng)力分量均處于同一坐標(biāo)平面內(nèi)，則稱之為平面應(yīng)力狀態(tài)（圖8?1b）；所有面上均有應(yīng)力者，稱為空間應(yīng)力狀態(tài)（圖8?1a）。根據(jù)彈性力學(xué)的研究，任何應(yīng)力狀態(tài)，總可找到三對互相垂直的面，在這些面上切應(yīng)圖8?1xyσxτxτyσxσyσyτxτy(b)xyσxτxzτyxσzzτyz(a)σyτxyτzyτzx圖8?2σ1σ3σ2(a)(b)σσ(c)σ1σ2力等于零，而只有正應(yīng)力(圖8?2a)。這樣的面稱為應(yīng)力主平面(簡稱主平面)，主

4、平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。一般以σ1、σ2、σ3表示(按代數(shù)值σ1≥σ2≥σ3)。如果三個(gè)主應(yīng)力都不等于零，稱為三向應(yīng)力狀態(tài)(圖8?2a)；如果只有一個(gè)主應(yīng)力等于零，稱為雙向應(yīng)力狀態(tài)(圖8?2b)；如果有兩個(gè)主應(yīng)力等于零稱為單向應(yīng)力狀態(tài)(圖8?2c)。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，其它的稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。本章主要研究平面應(yīng)力狀態(tài)，并討論關(guān)于材料破壞規(guī)律的強(qiáng)度理論。從而為在各種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度計(jì)算提供必要的基礎(chǔ)?！??2平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析——解析法一、斜截面應(yīng)力圖8?3xyσxτxτyσxσyσyτxτy(a)xnααyσατα(c)tσ

5、xτxσyτydefxyαα(b)σyσyτyfeadbcn設(shè)ef為一與單元體前后截面垂直的任一斜截面，其外法線n與x軸間的夾角（方位角）為α（圖8?2b），簡稱為α截面，并規(guī)定從x軸到外法線n逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的方位角α為正值。α截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力用σα和τα表示。對正應(yīng)力σα，規(guī)定以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)；對切應(yīng)力τα，則以其對單元體內(nèi)任一點(diǎn)的矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向者為正，反之為負(fù)。假想地沿斜截面ef將單元體截分為二，取efd為脫離體，如圖8?3c所示。根據(jù)(b)分別有(c)(d)根據(jù)切應(yīng)力互等定律有(e)將式（b）分別代入式(c)和(d)，經(jīng)整理后

6、有(8-1)(8-2)利用三角關(guān)系(f)即可得到(8?3)(8?4)上列兩式就是平面應(yīng)力狀態(tài)（圖8?3a）下，任意斜截面上應(yīng)力σα和τα的計(jì)算公式。例題8?1圖a為一平面應(yīng)力狀態(tài)單元體，試求與x軸成30○角的斜截面上的應(yīng)力。解：由圖可知?jiǎng)t由公式(13?3)及(13?4)可直接得到該斜截面上的應(yīng)力203030單位：MPaxy(a)xn30°°301020yσ30°τ30°(c)30°30°30°例題8?1圖二、主應(yīng)力和主平面將式(8—3)對α取導(dǎo)數(shù)（a）令此導(dǎo)數(shù)等于零，可求得σα達(dá)到極值時(shí)的α值，以α0表示此值(b)即(8?5)由此式可求出α0

7、的相差90°的兩個(gè)根，也就是說有相互垂直的兩個(gè)面，其中一個(gè)面上作用的正應(yīng)力是極大值，以σmax表示，另一個(gè)面上的是極小值，以σmin表示。利用三角關(guān)系：(c)將式(13?5)代人上兩式，再回代到式(13?3)經(jīng)整理后即可得到求σmax和σmin的公式如下：(8?6)式中根號前取“+”號時(shí)得σmax，取“－”號時(shí)得σmin。若把式(13?6)的σmax和σmin相加可有下面的關(guān)系：(8?9)即：對于同一個(gè)點(diǎn)所截取的不同方位的單元體，其相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個(gè)不變量，稱之為第一彈性應(yīng)力不變量，并可用此關(guān)系來校核計(jì)算結(jié)果。用完全相似的方法，可

8、以討論切應(yīng)力τα的極值和它們所在的平面。將式(8?4)對α取導(dǎo)數(shù)，得(a)令導(dǎo)數(shù)等于零，此時(shí)τα取得極值，其所在的平面的方位角用ατ表示，則(b)(8?10)由式(