極坐標(biāo)線路放樣計(jì)算原理

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1、極坐標(biāo)線路放樣計(jì)算原理中交第三航務(wù)工程局一、概述工程測(cè)量中，經(jīng)常會(huì)遇到線路放樣工作，其中包括一些緩和曲線、園曲線等的放樣工作。傳統(tǒng)的線路放樣工作（特別是曲線放樣工作）需要首先確定線路的各關(guān)鍵點(diǎn)，如直緩點(diǎn)、緩圓點(diǎn)、交點(diǎn)等，然后再在這些點(diǎn)上架設(shè)儀器，根據(jù)曲線要素，采用偏角法或切線支距法進(jìn)行放樣工作。這些方法步驟繁瑣，受現(xiàn)場(chǎng)地理?xiàng)l件的限制較多，且放樣成果累積誤差也較大。在全站儀和GPS較為普及的今天，需要改進(jìn)線路放樣工作的方法，提高放樣工作的效率，通過(guò)對(duì)各種測(cè)量線路的分析研究，抓住確定線路形狀的主要因素，導(dǎo)出計(jì)算線路軸線及邊線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公

2、式。這樣就可以配合全站儀或GPS在控制點(diǎn)上設(shè)站，按極坐標(biāo)法對(duì)路線上任意點(diǎn)進(jìn)行放樣，使得各類線路的放樣工作變得簡(jiǎn)便、靈活、快捷。二、線路軸線上點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算原理一般來(lái)說(shuō)，工程線路軸線無(wú)論其復(fù)雜程度如何，均由直線、緩和曲線及園曲線等三類基本線型的組合而成。其中緩和曲線主要用于連接直線和園曲線、兩個(gè)曲率半徑不同的園曲線。1、直線段上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算如圖一所示，一直線段AB，在起點(diǎn)A的坐標(biāo)（XA，YA）、起點(diǎn)方位角αAB及線路長(zhǎng)度lAB確定的情況下，該段線路完全確定。線路上任一樁位點(diǎn)P的坐標(biāo)（XP，YP）可由起點(diǎn)A至P點(diǎn)的距離lAB及方位角αAB按式

3、（1）計(jì)算：（1）線路終點(diǎn)B坐標(biāo)為：（2）直線形線路的特點(diǎn)是，線路上任意一線段的方位角不變，均為αＡＢ。2、緩和曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算工程線路中一般采用螺旋線作為緩和曲線，如圖二所示。螺旋線的特點(diǎn)是：曲線上任一點(diǎn)P的曲率半徑RP與該點(diǎn)至起點(diǎn)的曲線長(zhǎng)lAB成反比，即：（3）式中：C為比例常數(shù)，K為加常數(shù)。當(dāng)緩和曲線用于連接直線至圓曲線時(shí)，K=0，此時(shí)在直線與緩和曲線連接點(diǎn)處的曲率半徑R→∞。當(dāng)緩和曲線用于連接圓曲線至直線時(shí)K=-lAB，此時(shí)在緩和曲線和直線連接點(diǎn)處的曲率半徑R→∞。ABαＡＢXYOPlAPＡXYＯRAPRPBRBxyαAα

4、B圖一：直線段任意點(diǎn)意圖圖二：緩和曲線上任意點(diǎn)示意圖設(shè)緩和曲線兩端點(diǎn)的曲率半徑分別為RA及RB，當(dāng)RA、RB及緩和曲線長(zhǎng)lAB和曲向確定時(shí)，且起始點(diǎn)A坐標(biāo)（XA，YA）及A點(diǎn)切線方位角αA也確定時(shí)，則緩和曲線完被全確定（包括緩和曲線形狀及其在坐標(biāo)系中的位置）。由圖二知，當(dāng)lAP=0時(shí)，RP=RA；當(dāng)lAP=lAB時(shí)，RP=RB。因此，按式（3）可列出：（4）由式（4）解得（5）如圖三所示，以A點(diǎn)為原點(diǎn)建立過(guò)渡直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xy，其中坐標(biāo)橫軸與A點(diǎn)切線重合。從圖中可以看出，曲線上任一弧長(zhǎng)的微分段與相應(yīng)的坐標(biāo)有如下關(guān)系：（6）對(duì)式（6）求積得：

5、（7）式中β為弧長(zhǎng)l的函數(shù)。由于dβ=dl/R，則由式（3）有：（8）則（9）dxdydldβRABAxyRBβ0β0β圖五：緩和曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算示意圖由式（5）知：（10）將式（10）代入式（7）有：（11）將式（11）按冪級(jí)數(shù)展開(kāi)，并逐項(xiàng)積分，略去可忽略的9次以上高次項(xiàng)得（12)式(12)即為由圖三所示的在A-xy坐標(biāo)系中解算緩和曲線上軸線點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式。在式（12）中，當(dāng)RA→∞時(shí)有：(13)當(dāng)RB→∞時(shí)，式（12）化為：（14）式（12）、（13）、（14）分別為三種不同情況下，緩和曲線軸線上點(diǎn)坐標(biāo)在A-xy坐標(biāo)系中的計(jì)算

6、公式。當(dāng)在上面的計(jì)算公式中用lAB代lAP時(shí)，即得緩和曲線終點(diǎn)B之坐標(biāo)（xB，yB）。需要注意的是：在實(shí)際計(jì)算時(shí)，還需要將在A-xy系中計(jì)算的坐標(biāo)換算到施工坐標(biāo)系O-XY中去。由圖二得到轉(zhuǎn)換公式：（15）如圖二、圖三所示，緩和曲線終點(diǎn)的切線方位角αB應(yīng)為：（16）顧及式(10)有：（17）當(dāng)RA→∞時(shí)：(18)當(dāng)RB→∞時(shí)：(19)3、圓曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算如圖四所示，對(duì)圓曲線同樣只要給定其起點(diǎn)A的坐標(biāo)（XA，YA）、起點(diǎn)方向αA、圓半徑R及線路長(zhǎng)lAB，則該圓曲線形狀及位置完全確定。又如圖五所示，設(shè)以起點(diǎn)A為原點(diǎn)，A點(diǎn)切線方向?yàn)閥軸方向

7、，建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xy。則容易推求出圓曲線軸線上P點(diǎn)的坐標(biāo)：（20）注意到β=lAP/R，故上式化作：β0β0βαABAxyOYXPR圖四：圓曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算示意圖β0β0βAxyBlAPPR圖五：起點(diǎn)為原點(diǎn)圓曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算示意圖（21）式（21）即為在A-xy系中，圓曲線軸線上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)計(jì)算公式。同樣式4.7-21需要按式（15）作坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。由圖四、圖五得圓曲線終點(diǎn)B的切線方位角為：（22）需要說(shuō)明的是：在曲線部分我們只討論了曲線的一個(gè)曲向（左向）。至于另一個(gè)曲向（右向），由對(duì)稱性顯見(jiàn)，在由圖三、圖五所確定的坐標(biāo)系

8、中，其y值不變，x值取相反符號(hào)。即當(dāng)曲線的曲向?yàn)橛蚁驎r(shí)，仍可按緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算公式（12）、（13）、（14）及圓曲線的坐標(biāo)計(jì)算公式（21）等計(jì)算軸線點(diǎn)坐標(biāo)，只是在計(jì)算結(jié)果中，將