壓桿的平衡穩(wěn)定性與壓桿設(shè)計

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1、第10章壓桿的平衡穩(wěn)定性與壓桿設(shè)計剛體的平衡位形和彈性體的平衡構(gòu)形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問題。本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念，包括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形的分叉、分叉點、屈曲以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)判別準則。然后根據(jù)微彎的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計方法—安全因數(shù)法?！?0－1彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念結(jié)構(gòu)構(gòu)件、機器的零件或部件在壓縮載荷或其他特定載荷作用下，在某一位置保持平衡，這一平衡位置稱為平衡構(gòu)形（equilibri

2、umconfiguration）。當載荷小于一定的數(shù)值時，微小外界擾動（disturbance）使其偏離初始平衡構(gòu)形；外界擾動除去后，構(gòu)件仍能回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的（stable）；當載荷大于一定的數(shù)值時，外界擾動使其偏離初始平衡構(gòu)形，擾動除去后，構(gòu)件不能回復(fù)到初始平衡構(gòu)形，則稱初始平衡構(gòu)形是不穩(wěn)定的(unstable)。此即判別彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學(xué)準則（staticalcriterionforelasticstability）。不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形在任意微小的外界擾動下，都要轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鈽?gòu)形，這種過程稱為屈曲(buc

3、kling)或失穩(wěn)(loststability)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效(failurebybuckling)。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此工程設(shè)計中需要認真加以考慮。軸向受壓的理想細長直桿（圖10－1a），當軸向壓力FP小于某一數(shù)值時，在任意小的擾動下使壓桿偏離直線的平衡構(gòu)形（例如發(fā)生微彎），擾動除去后，壓桿又回到原來直線平衡構(gòu)形，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是穩(wěn)定的。這表明，當壓力小于一定數(shù)值時，壓桿只有直線一種平衡構(gòu)形。若以w0表示壓桿在屈曲時中間截面的側(cè)向位移則在FP－w0坐標中，當壓力F

4、P小于某一圖10－1壓桿的平衡路徑數(shù)值時FP－w0關(guān)系由豎直線AB所描述，如圖10－1b所示。當壓力超過一定數(shù)值時，壓桿仍可能具有直線的平衡構(gòu)形，但在外界擾動下，使其偏離直線構(gòu)形，擾動除去后，不能再回到原來的直線平衡構(gòu)形，而在某一屈曲構(gòu)形下達到新的平衡，則稱原來的直線平衡構(gòu)形是“不穩(wěn)定的”。這表明，當壓力大于一定數(shù)值時，壓桿存在兩種可能的平衡構(gòu)形—直線的和屈曲的。前者側(cè)向位移w0＝0，后者w0≠0。精確的非線性理論分析結(jié)果表明，在FP－w0坐標中，上述兩種平衡構(gòu)形分別由豎直線BD（圖10－1b中的虛線）和曲線BC（圖10－1b中實曲線）所表示。不

5、同壓縮載荷下的FP－w0曲線稱為壓桿的平衡路徑（equilibriumpath）?？梢钥闯觯攭毫π∮谀骋粩?shù)值時平衡路徑AB是唯一的，它對應(yīng)著直線的平衡構(gòu)形。當壓力大于某一數(shù)值時，其平衡路徑出現(xiàn)兩個分支BD和BC。其中一個分支BD對應(yīng)著直線的平衡構(gòu)形；另一個分支BC對應(yīng)著屈曲的平衡構(gòu)形。前者是不穩(wěn)定的；后者是穩(wěn)定的。這種出現(xiàn)分支平衡路徑的現(xiàn)象稱為平衡構(gòu)形分叉（bifurcationofequilibriumconfiguration）或平衡路徑分叉（bifurcationofequilibriumpath）。穩(wěn)定的平衡構(gòu)形與不穩(wěn)定的平衡構(gòu)形之間的

6、分界點稱為臨界點（criticalpoint）。在現(xiàn)在所討論的問題中，因為從這一點開始，平衡路徑出現(xiàn)分叉，故又稱為分叉點。臨界點所對應(yīng)的載荷稱為臨界載荷(criticalload)或分叉載荷(bifurcationload),用FP表示。細長壓桿，在大于臨界載荷的軸向壓力作用下，由直線平衡構(gòu)形轉(zhuǎn)變?yōu)榍鷺?gòu)形的過程，稱為分叉屈曲(bifurcationbuckling)?！?0－2確定臨界載荷的平衡方法為簡化分析，并且為了得到可應(yīng)用于工程的、簡明的表達式。在確定壓桿的臨界載荷時作如下簡化：n剪切變形的影響可以忽略不計。n不考慮桿的軸向變形。從圖10

7、－1b所示的平衡路徑可以看出，當w00時FPFPcr。這表明，當FP無限接近分叉載荷FPcr時，在直線平衡構(gòu)形附近無窮小的鄰域內(nèi)，存在微彎的屈曲平衡構(gòu)形。根據(jù)這一平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程，以及端部約束條件，即可確定臨界載荷。圖10－2兩端鉸支的壓桿10－2－1兩端鉸支的壓桿考察圖10－2a所示兩端鉸支、承受軸向壓縮載荷的理想直桿，由圖10－2b所示與直線平衡構(gòu)形無限接近的微彎屈曲構(gòu)形的局部（圖10－2c）的平衡條件，得到任意截面(位置坐標為x)上的彎矩為(a)由小撓度微分方程(b)得到(10－1)這是壓桿在微彎曲狀態(tài)下，也是微彎屈曲構(gòu)

8、形時的平衡微分方程。這一微分方程是確定臨界載荷的主要依據(jù)，其中(10－2)方程(10－1)的通解是(10－3)利用兩端的邊界條件：得到(