02-04 單元?jiǎng)偠染仃?/h1>

《02-04 單元?jiǎng)偠染仃嚒酚蓵?huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、§2-4單元?jiǎng)偠染仃嚨谒牟剑豪闷胶夥匠?，建立?jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，即用單元節(jié)點(diǎn)位移表示節(jié)點(diǎn)力。上節(jié)己給出了用節(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力和應(yīng)變。本節(jié)來(lái)推導(dǎo)單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系。一、節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系節(jié)點(diǎn)力是指彈性體離散化之后，外載、約束和其他單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)作用在某一單元上的力。圖2-11三角形單元的節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)力對(duì)于己從整體結(jié)構(gòu)中取出來(lái)的單元來(lái)說(shuō)，作用在其上的節(jié)點(diǎn)力就是外力。這些節(jié)點(diǎn)力在單元內(nèi)部會(huì)引起相應(yīng)的應(yīng)力。當(dāng)整體處于平衡狀態(tài)時(shí)，單元在節(jié)點(diǎn)力作用下也處于平衡狀態(tài)。在平面問(wèn)題中節(jié)點(diǎn)力有二個(gè)分量，分別用U和V加節(jié)點(diǎn)號(hào)下標(biāo)表示該節(jié)點(diǎn)水平和垂直節(jié)點(diǎn)力分量(有時(shí)還再加

2、單元號(hào)上標(biāo)表示該單元上的節(jié)點(diǎn)力)。節(jié)點(diǎn)力的方向以節(jié)點(diǎn)對(duì)單元的力沿坐標(biāo)正方向?yàn)檎?，反之為?fù)。對(duì)三節(jié)點(diǎn)三角形單元來(lái)講，共有六個(gè)節(jié)點(diǎn)力分量(如圖2-11所示)。用列陣表示為：；(2-24)1．虛位移原理為了推導(dǎo)單元的節(jié)點(diǎn)力與單元節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，要用到虛位移原理。2．節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系虛位移原理在一處于平衡狀態(tài)的單元上的數(shù)學(xué)描述為：?jiǎn)卧瞎?jié)點(diǎn)力(外力)在某一虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元應(yīng)力(內(nèi)力)在相應(yīng)虛應(yīng)變上所作的虛功。設(shè)單元節(jié)點(diǎn)處的虛位移為；=(i,j,m)(2-25)采用和真實(shí)位移相同的位移模式，則單元內(nèi)各點(diǎn)的虛位移為(a)相應(yīng)虛應(yīng)變?yōu)?b)7于是虛功方程可寫成(2

3、-26)將(b)式及(2-18)式代入上式，得根據(jù)矩陣乘法逆序法則，上式可以寫成由于列陣中的元素是常量，即與單元內(nèi)點(diǎn)的位置坐標(biāo)x，y無(wú)關(guān)，上式右邊的可以提到積分號(hào)前面去。又由于虛位移可以是任意的，所以矩陣也是任意的，因此等式兩邊與它相乘的矩陣應(yīng)當(dāng)相等，于是得(2-27)令(2-28)則(2-27)式得(2-29)這就是節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系式。由于〔D〕中的元素是常量，而且在線性位移模式的情況下，〔B〕中的元素也是常量，同時(shí)，(單元面積)，則公式(2-27)與(2-28)就簡(jiǎn)化為(2-30)(2-31)矩陣反映了單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，所以稱其為

4、單元的剛度矩陣。矩陣表示該單元各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，它決定于單元的形狀，大小，方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。7一、單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算為了計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嚨闹担瑢?2-31)式展開可得(2-32)對(duì)于6自由度的三角形三節(jié)點(diǎn)單元，其單元?jiǎng)偠染仃嚍?×6階方陣。其中子矩陣(r,s=i,j,m)是九個(gè)2×2階方陣，它們寫成一個(gè)統(tǒng)一的計(jì)算格式，即(r,s=i,j,m)(2-33)式中(r，s=i，j，m)對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題(r,s=i,j,m)(2-34)對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題(r,s=i,j,m)(2-35)7一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢?/p>

5、意義單元?jiǎng)偠染仃嚤硎救切螁卧挚棺冃蔚哪芰Γ幢硎玖斯?jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。將(2-29)式寫成下面形式(2-36)根據(jù)矩陣乘法可得(2-37)從(2-37)式的第一式可以看出，、、分別表示使節(jié)點(diǎn)i、節(jié)點(diǎn)j與節(jié)點(diǎn)m產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i上所需要施加的節(jié)點(diǎn)力的大小，即在單元節(jié)點(diǎn)i處產(chǎn)生的作用力。u則表示節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i處所產(chǎn)生的彈性力，其余類推。由此可知：u子矩陣表示使節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m〕產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)處所產(chǎn)生彈性力的大小。現(xiàn)將單元?jiǎng)偠染仃囎泳仃囌归_成如下形式并將(2-37)式中節(jié)點(diǎn)力列陣與節(jié)點(diǎn)位移列陣均展開成6×1階列矩陣，則（2

6、-29）式所列平衡方程為(2-38)7由此可見，單元?jiǎng)偠染仃囍械拿恳粋€(gè)元素都有其明顯的物理意義，即表示后一下標(biāo)所示的節(jié)點(diǎn)的某一方向上產(chǎn)生單位位移時(shí)，在前一下標(biāo)所示的節(jié)點(diǎn)的某一方向上所產(chǎn)生的作用力。其中元素(r、s=i,j,m)的下標(biāo)上有“一”的表示水平方向，沒(méi)有“一”的表示垂直方向。例如：u表示節(jié)點(diǎn)i在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所產(chǎn)生的水平作用力。u表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所產(chǎn)生的水平作用力。u表示節(jié)點(diǎn)j在水平方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所產(chǎn)生的垂直作用力。u表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所產(chǎn)生的垂直作用力。其余類推。同時(shí)可以得出：?jiǎn)卧粋€(gè)

7、節(jié)點(diǎn)上的節(jié)點(diǎn)力分量是本單元上三個(gè)節(jié)點(diǎn)六個(gè)位移分量對(duì)其提供貢獻(xiàn)的總和，即r=i,j,m(2-39)這其中包括該節(jié)點(diǎn)對(duì)自己做出的貢獻(xiàn)和其它節(jié)點(diǎn)對(duì)該節(jié)點(diǎn)提供的貢獻(xiàn)，即節(jié)點(diǎn)之間互相做出貢獻(xiàn)。但應(yīng)注意分清所求節(jié)點(diǎn)力之點(diǎn)(r)與提供貢獻(xiàn)之點(diǎn)(s)，即s節(jié)點(diǎn)對(duì)r節(jié)點(diǎn)提供貢獻(xiàn)，其單元?jiǎng)偠茸泳仃嚍?。一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦?.對(duì)稱性，就是說(shuō)單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣。根據(jù)(2-34)式，將單元?jiǎng)偠染仃囍懈髟叵嗷?duì)照便得余類推。由此可見，在單元?jiǎng)偠染仃囘@個(gè)6×6階方陣中，對(duì)稱于主對(duì)角線的元素都兩兩相