02-04 單元剛度矩陣

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1、§2-4單元剛度矩陣第四步：利用平衡方程，建立節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系，即用單元節(jié)點位移表示節(jié)點力。上節(jié)己給出了用節(jié)點位移表示單元應(yīng)力和應(yīng)變。本節(jié)來推導(dǎo)單元節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關(guān)系。一、節(jié)點力和節(jié)點位移間的關(guān)系節(jié)點力是指彈性體離散化之后，外載、約束和其他單元通過節(jié)點作用在某一單元上的力。圖2-11三角形單元的節(jié)點位移和節(jié)點力對于己從整體結(jié)構(gòu)中取出來的單元來說，作用在其上的節(jié)點力就是外力。這些節(jié)點力在單元內(nèi)部會引起相應(yīng)的應(yīng)力。當(dāng)整體處于平衡狀態(tài)時，單元在節(jié)點力作用下也處于平衡狀態(tài)。在平面問題中節(jié)點力有二個分量，分別用U和V加節(jié)點號下標表示該節(jié)點水平和垂直節(jié)點力分量(有時還再加

2、單元號上標表示該單元上的節(jié)點力)。節(jié)點力的方向以節(jié)點對單元的力沿坐標正方向為正，反之為負。對三節(jié)點三角形單元來講，共有六個節(jié)點力分量(如圖2-11所示)。用列陣表示為：；(2-24)1．虛位移原理為了推導(dǎo)單元的節(jié)點力與單元節(jié)點位移之間的關(guān)系，要用到虛位移原理。2．節(jié)點力和節(jié)點位移間的關(guān)系虛位移原理在一處于平衡狀態(tài)的單元上的數(shù)學(xué)描述為：單元上節(jié)點力(外力)在某一虛位移上所作的虛功應(yīng)等于單元應(yīng)力(內(nèi)力)在相應(yīng)虛應(yīng)變上所作的虛功。設(shè)單元節(jié)點處的虛位移為；=(i,j,m)(2-25)采用和真實位移相同的位移模式，則單元內(nèi)各點的虛位移為(a)相應(yīng)虛應(yīng)變?yōu)?b)7于是虛功方程可寫成(2

3、-26)將(b)式及(2-18)式代入上式，得根據(jù)矩陣乘法逆序法則，上式可以寫成由于列陣中的元素是常量，即與單元內(nèi)點的位置坐標x，y無關(guān)，上式右邊的可以提到積分號前面去。又由于虛位移可以是任意的，所以矩陣也是任意的，因此等式兩邊與它相乘的矩陣應(yīng)當(dāng)相等，于是得(2-27)令(2-28)則(2-27)式得(2-29)這就是節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系式。由于〔D〕中的元素是常量，而且在線性位移模式的情況下，〔B〕中的元素也是常量，同時，(單元面積)，則公式(2-27)與(2-28)就簡化為(2-30)(2-31)矩陣反映了單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，所以稱其為

4、單元的剛度矩陣。矩陣表示該單元各節(jié)點沿坐標方向發(fā)生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于單元的形狀，大小，方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標軸的平行移動而改變。7一、單元剛度矩陣的計算為了計算單元剛度矩陣的值，將(2-31)式展開可得(2-32)對于6自由度的三角形三節(jié)點單元，其單元剛度矩陣為6×6階方陣。其中子矩陣(r,s=i,j,m)是九個2×2階方陣，它們寫成一個統(tǒng)一的計算格式，即(r,s=i,j,m)(2-33)式中(r，s=i，j，m)對于平面應(yīng)力問題(r,s=i,j,m)(2-34)對于平面應(yīng)變問題(r,s=i,j,m)(2-35)7一、單元剛度矩陣的物理

5、意義單元剛度矩陣表示三角形單元抵抗變形的能力，即表示了節(jié)點位移與節(jié)點力之間的關(guān)系。將(2-29)式寫成下面形式(2-36)根據(jù)矩陣乘法可得(2-37)從(2-37)式的第一式可以看出，、、分別表示使節(jié)點i、節(jié)點j與節(jié)點m產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i上所需要施加的節(jié)點力的大小，即在單元節(jié)點i處產(chǎn)生的作用力。u則表示節(jié)點j產(chǎn)生位移時，在節(jié)點i處所產(chǎn)生的彈性力，其余類推。由此可知：u子矩陣表示使節(jié)點s(s=i,j,m〕產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=i,j,m)處所產(chǎn)生彈性力的大小?，F(xiàn)將單元剛度矩陣子矩陣展開成如下形式并將(2-37)式中節(jié)點力列陣與節(jié)點位移列陣均展開成6×1階列矩陣，則（2

6、-29）式所列平衡方程為(2-38)7由此可見，單元剛度矩陣中的每一個元素都有其明顯的物理意義，即表示后一下標所示的節(jié)點的某一方向上產(chǎn)生單位位移時，在前一下標所示的節(jié)點的某一方向上所產(chǎn)生的作用力。其中元素(r、s=i,j,m)的下標上有“一”的表示水平方向，沒有“一”的表示垂直方向。例如：u表示節(jié)點i在水平方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所產(chǎn)生的水平作用力。u表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所產(chǎn)生的水平作用力。u表示節(jié)點j在水平方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所產(chǎn)生的垂直作用力。u表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點i所產(chǎn)生的垂直作用力。其余類推。同時可以得出：單元一個

7、節(jié)點上的節(jié)點力分量是本單元上三個節(jié)點六個位移分量對其提供貢獻的總和，即r=i,j,m(2-39)這其中包括該節(jié)點對自己做出的貢獻和其它節(jié)點對該節(jié)點提供的貢獻，即節(jié)點之間互相做出貢獻。但應(yīng)注意分清所求節(jié)點力之點(r)與提供貢獻之點(s)，即s節(jié)點對r節(jié)點提供貢獻，其單元剛度子矩陣為。一、單元剛度矩陣的特性1.對稱性，就是說單元剛度矩陣是一個對稱矩陣。根據(jù)(2-34)式，將單元剛度矩陣中各元素相互對照便得余類推。由此可見，在單元剛度矩陣這個6×6階方陣中，對稱于主對角線的元素都兩兩相