浮點(diǎn)數(shù)的表示和精度

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1、浮點(diǎn)數(shù)的表示和精度(2009-12-1717:03:57)轉(zhuǎn)載標(biāo)簽：it分類：C/C++如果a>0，那么1+a一定大于1嗎？在數(shù)學(xué)上，答案是肯定的。但在計(jì)算機(jī)上，答案就與a的大小和浮點(diǎn)數(shù)的精度有關(guān)了。在matalb上，可以作以下計(jì)算：>>a=1/2^52a=???2.220446049250313e-016>>1+a>1ans=????1>>a=1/2^53a=???1.110223024625157e-016>>1+a>1ans=????0可見，當(dāng)a等于1/2^53時(shí)，1+a>1是不成立的。1浮點(diǎn)數(shù)IEEE754定義了單

2、精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度數(shù)浮點(diǎn)數(shù)，即float和double。float有32bit，double有64bit。它們都包括符號位、指數(shù)和尾數(shù)。???符號位???指數(shù)???尾數(shù)float???31(1)???30-23(8)???22-0(23)double???63(1)???62-52(11)???51-0(52)符號位有1bit，0表示正、1表示負(fù)。設(shè)一個(gè)數(shù)的指數(shù)是e，指數(shù)部分的值是bias+e。加上一個(gè)bias是為了表示負(fù)數(shù)。float的bias是127，double的bias是1023。指數(shù)全0或全1有特殊含義，不算正常

3、指數(shù)。???*float的指數(shù)部分有8bit，可以取值1~254，減掉127，得到對應(yīng)的指數(shù)范圍-126~127。???*double的指數(shù)部分有11位，可以取值1~2046，減掉1023，得到對應(yīng)的指數(shù)范圍-1022~1023。這里的指數(shù)是以2為底的，同樣尾數(shù)也是二進(jìn)制的。IEEE754要求浮點(diǎn)數(shù)以規(guī)范形式存儲，即小數(shù)點(diǎn)前有1位非零數(shù)字。對于二進(jìn)制數(shù)，非零數(shù)字只有1。所以IEEE754在存儲時(shí)省略了這個(gè)小數(shù)點(diǎn)前面的1，只存儲小數(shù)點(diǎn)后面的位。2誤差看個(gè)例子，設(shè)：?doublea=0.2;在PC上，我們可以看到a對應(yīng)的存儲區(qū)

4、數(shù)據(jù)是：9A9999999999C93FPC的數(shù)據(jù)是小尾的，即低位字節(jié)在后，將其寫成高位字節(jié)在前，得到：3FC999999999999A可見符號位為0。指數(shù)位是0x3FC，即1020，減掉1023，得到指數(shù)-3。尾數(shù)是999999999999A。所以完整的數(shù)字就是16進(jìn)制的1.999999999999A乘上2^-3。即：a=(1+9*(1/16+1/16^2+...+1/16^12)+10/16^13)*2^-3(1/16+...+1/16^12)可以用等比級數(shù)求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)計(jì)算，其中a1=1/1

5、6，q=1/16，n=12，因此：a=(1+9*(1-1/16^12)/15+10/16^13)*2^-3用windows的計(jì)算器計(jì)算上式，得到a=0.20000000000000001110223024625157這也不是精確解，但已經(jīng)可以看到用double表示0.2時(shí)存在的誤差。這個(gè)例子說明在用有限字長的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示任意實(shí)數(shù)a可能引入誤差。設(shè)實(shí)數(shù)a的指數(shù)為e，尾數(shù)位數(shù)為n，顯然：誤差<(1/2^n)*2^e3精度可以把機(jī)器精度定義為滿足條件fl(1+ε)>1的最小浮點(diǎn)數(shù)ε。其中fl(1+ε)是1+ε的浮點(diǎn)表示。顯然

6、double的機(jī)器精度是1/2^52。float的機(jī)器精度是1/2^23。matlab內(nèi)部采用double，1+1/2^53對double來說就是1，所以1+1/2^53不會大于1。對于規(guī)范數(shù)來說，因?yàn)樾?shù)點(diǎn)前默認(rèn)有個(gè)1，所以float的有效數(shù)字是24bit，對應(yīng)8位十進(jìn)制有效數(shù)字；double的有效數(shù)字是53bit，對應(yīng)16位十進(jìn)制有效數(shù)字。4特殊的浮點(diǎn)數(shù)前面提到浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)全0或全1有特殊含義，讓我們來看看這些特殊的浮點(diǎn)數(shù)：???*指數(shù)和尾數(shù)都是全0表示0。根據(jù)符號位不同可以分為+0和-0。???*指數(shù)全0，尾數(shù)不為全

7、0，這些數(shù)是非規(guī)范數(shù)，即尾數(shù)部分不假設(shè)前面存在小數(shù)點(diǎn)前的1?；蛘哒f這些數(shù)太接近0了，因?yàn)橹笖?shù)已經(jīng)不能再小，所以這些數(shù)不能寫成規(guī)范形式。例如：double數(shù)0000000000000001的尾數(shù)是0000000000001，即1/2^52，對應(yīng)的數(shù)是1/(2^52)*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。???*指數(shù)全1，尾數(shù)全0表示無窮大，即inf。根據(jù)符號位不同可以分為+inf和-inf。???*指數(shù)全1，尾數(shù)不為全0表示NaN，即NotaNumber，不是數(shù)。尾數(shù)最高位為1的NaN被稱作QN

8、aN（QuietNaN）。尾數(shù)最高位為0的NaN被稱作SNaN（SignallingNaN）。通常用QNaN表示不確定的操作，用SNaN表示無效的操作。在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，double就是一個(gè)64位數(shù)。從0x0000000000000000~0xFFFFFFFFFFFFFFFF，每個(gè)64位數(shù)都對應(yīng)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)或