時(shí)域有限差分法論文

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1、時(shí)域有限差分法1選題背景在多種可用的數(shù)值方法中,時(shí)域有限差分法(FDTD)是一種新近發(fā)展起來的可選方法。1966年,K.S.Yee首次提出電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算的新方法—時(shí)域有限差分法(FiniteDifference-TimeDomain,簡(jiǎn)稱FDTD)。經(jīng)歷了二十年的發(fā)展FDTD法才逐漸走向成熟。上世紀(jì)80年代后期以來FDTD法進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段,即由成熟轉(zhuǎn)為被廣泛接受和應(yīng)用的階段。FDTD法是解決復(fù)雜問題的有效方法之一,是一種直接基于時(shí)域電磁場(chǎng)微分方程的數(shù)值算法,它直接在時(shí)域?qū)axwell旋度方程用

2、二階精度的中心差分近似,從而將時(shí)域微分方程的求解轉(zhuǎn)換為差分方程的迭代求解。是電磁場(chǎng)和電磁波運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)過程的計(jì)算機(jī)模擬。原則上可以求解任意形式的電磁場(chǎng)和電磁波的技術(shù)和工程問題,并且對(duì)計(jì)算機(jī)內(nèi)存容量要求較低、計(jì)算速度較快、尤其適用于并行算法。現(xiàn)在FDTD法己被廣泛應(yīng)用于天線的分析與設(shè)計(jì)、目標(biāo)電磁散射、電磁兼容、微波電路和光路時(shí)域分析、生物電磁劑量學(xué)、瞬態(tài)電磁場(chǎng)研究等多個(gè)領(lǐng)域[1]。經(jīng)過了近四十年的發(fā)展,F(xiàn)DTD法在計(jì)算方法和應(yīng)用上取得了大量成果。近幾年來,討論FDTD法的深入發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用的文章幾乎按指

3、數(shù)增長(zhǎng),目前FDTD法的許多重要問題得到了很好的解決,已經(jīng)發(fā)展成為一種成熟的數(shù)值計(jì)算方法。隨著計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理性能的快速提高和計(jì)算機(jī)價(jià)格的下降,使得FDTD法的應(yīng)用范圍越來越廣,而FDTD法本身在應(yīng)用中又有新的發(fā)展.2原理分析2.1FDTD的Yee元胞E,H場(chǎng)分量取樣節(jié)點(diǎn)在空間和時(shí)間上采取交替排布,利用電生磁,磁生電的原理圖1Yee模型如圖1所示,Yee單元有以下特點(diǎn)[2]:1)E與H分量在空間交叉放置,相互垂直;每一坐標(biāo)平面上的E分量四周由H分量環(huán)繞,H分量的四周由E分量環(huán)繞;場(chǎng)分量均與坐標(biāo)軸方向一致。

4、2)每一個(gè)Yee元胞有8個(gè)節(jié)點(diǎn),12條棱邊,6個(gè)面。棱邊上電場(chǎng)分量近似相等,用棱邊的中心節(jié)點(diǎn)表示,平面上的磁場(chǎng)分量近似相等,用面的中心節(jié)點(diǎn)表示。3)每一場(chǎng)分量自身相距一個(gè)空間步長(zhǎng),E和H相距半個(gè)空間步長(zhǎng)4)每一場(chǎng)分量自身相距一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng),E和H相距半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng),電場(chǎng)取n時(shí)刻的值,磁場(chǎng)取n+0.5時(shí)刻的值;即:電場(chǎng)n時(shí)刻的值由n-1時(shí)刻的值得到,磁場(chǎng)n+0.5時(shí)刻的值由n-0.5時(shí)刻的值得到;電場(chǎng)n時(shí)刻的旋度對(duì)應(yīng)n+0.5時(shí)刻的磁場(chǎng)值,磁場(chǎng)n+0.5時(shí)刻的旋度對(duì)應(yīng)(n+0.5)+0.5時(shí)刻的電場(chǎng)值,逐步外

5、推。5)3個(gè)空間方向上的時(shí)間步長(zhǎng)相等,以保證均勻介質(zhì)中場(chǎng)量的空間變量與時(shí)間變量完全對(duì)稱。應(yīng)用這種離散方式,將含時(shí)間變量的Maxwell方程轉(zhuǎn)化為一組差分方程,并在時(shí)間軸上逐步推進(jìn)地求解空間電磁場(chǎng)。由電磁問題的初值和邊界條件,就可以逐步推進(jìn)地求解以后各時(shí)刻空間電磁場(chǎng)分布。2.2Maxwell方程FDTD的差分格式麥克斯韋第一、二方程(1)式中,時(shí)電流密度,反映電損耗,是磁流密度,單位,反映磁損耗。主要與上式對(duì)應(yīng)。各向同性介質(zhì)中的本構(gòu)關(guān)系:(2)其中是磁阻率,計(jì)算磁損耗的。以為變量,在直角坐標(biāo)中,展開麥克斯

6、韋第一、二方程,分別為(3)(4)令代表在直角坐標(biāo)中的任何一個(gè)分量,離散符號(hào)取為(5)關(guān)于時(shí)間和空間的一階偏導(dǎo)數(shù)取中心差分近似為(6)可以看出,每一節(jié)點(diǎn)上沿某一方向場(chǎng)分量的一階偏微分可以用在該方向上相鄰兩點(diǎn)的一階中心差商來描述,將式(1)用一階中心差商方程取代,整理后便得到一階差分方程,它具有二階精度[3]。Yee元胞如圖1所示,規(guī)定為1)剖分節(jié)點(diǎn)與場(chǎng)分量所在棱邊中點(diǎn)不同,場(chǎng)分量的位置,即節(jié)點(diǎn)是Yee元胞節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位置,不需要單獨(dú)編碼;2)當(dāng)空間存在媒質(zhì)分界面時(shí),場(chǎng)量自動(dòng)滿足場(chǎng)的連續(xù)性條件,電磁分量的取

7、樣方式不僅符合法拉第電磁感應(yīng)定律和安培環(huán)路定律的自然結(jié)構(gòu),也符合麥克斯韋方程的差分計(jì)算。其次,時(shí)間步長(zhǎng)可以取為電磁波傳播一個(gè)空間步長(zhǎng)所需時(shí)間的一半,因此與在時(shí)間順序上交替抽樣,時(shí)間間隔相差半個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。2.3一維問題均勻平面波(TEM波)是一維問題,設(shè)電磁波沿z軸方向傳播,則,場(chǎng)量和介質(zhì)參數(shù)均與x,y無關(guān),即,麥克斯韋方程為(7)和(8)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸后可以只保留一組公式[4],設(shè)保留(7)Yee元胞如圖2所示圖2一維Yee元胞差分格式為(9)(10)如果介質(zhì)無損耗,則2.4二維問題三維通常是散射問題,二維

8、是TE、TM波問題,一維是TEM波問題。在二維場(chǎng)中,所有物理量與Z坐標(biāo)無關(guān),既。于是在TE和TM波的表達(dá)式分別為TE波()(11)TM波()(12)圖3分別給出了TM波和TE波的Yee元胞圖圖3TM波的Yee元胞圖4TE波的Yee元胞對(duì)于TE波,只要令,在上,不隨z變化,m中去掉k即可得到:式中:(13)式中:(14)式中,(15)對(duì)TM波,只要令,在上,不隨z變化,m中去掉k,即可得到:式中,(16)式中,(17)式中:(18)為了編寫統(tǒng)

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