高三數(shù)學(xué)第二專題講座復(fù)習(xí)：應(yīng)用性問題

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1、高三數(shù)學(xué)第二輪專題講座復(fù)習(xí)：應(yīng)用性問題高考要求數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決其他領(lǐng)域中的問題高考對應(yīng)用題的考查已逐步成熟，大體是三道左右的小題和一道大題，注重問題及方法的新穎性，提高了適應(yīng)陌生情境的能力要求重難點歸納1解應(yīng)用題的一般思路可表示如下：2解應(yīng)用題的一般程序（1）讀閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ)（2）建將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進行建“模”是關(guān)鍵的一關(guān)（3）解求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意

2、義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程（4）答將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果3中學(xué)數(shù)學(xué)中常見應(yīng)用問題與數(shù)學(xué)模型（1）優(yōu)化問題實際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需建立“不等式模型”和“線性規(guī)劃”問題解決（2）預(yù)測問題經(jīng)濟計劃、市場預(yù)測這類問題通常設(shè)計成“數(shù)列模型”來解決（3）最（極）值問題工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實際生活中的極限問題常設(shè)計成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值（4）等量關(guān)系問題建立“方程模型”解決（5）測量問題可設(shè)計成“圖形模型”利用幾何知識解決典型題例示范講解例1為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2米的無

3、蓋長方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）？命題意圖本題考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最值求法等基本知識及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、思想與方法解決實際問題能力知識依托重要不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、建立函數(shù)關(guān)系式錯解分析不能理解題意而導(dǎo)致關(guān)系式列不出來，或a與b間的等量關(guān)系找不到技巧與方法關(guān)鍵在于如何求出函數(shù)最小值，條

4、件最值可應(yīng)用重要不等式或利用導(dǎo)數(shù)解決解法一設(shè)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，則由條件y=(k＞0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60①要求y的最小值，只須求ab的最大值由①(a+2)(b+1)=32(a＞0,b＞0)且ab=30–(a+2b)應(yīng)用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)–4≥∴ab≤18，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時等號成立將a=2b代入①得a=6,b=3故當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小解法二由2a+4b+2ab=60,得,記(0＜a＜30)則要求y的

5、最小值只須求u的最大值由，令u′=0得a=6且當(dāng)0＜a＜6時，u′＞0，當(dāng)6＜u＜30時u′＜0,∴在a=6時取最大值，此時b=3從而當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時,y=取最小值例2某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相等為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？命題意圖本題考查等比數(shù)列、數(shù)列求和解不等式等知識以及極限思想方法和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力知識依托數(shù)列極限、等比數(shù)列、解不等式錯解分析①不能讀懂題

6、意，找不到解題的突破口；②寫出bn+1與x的關(guān)系后，不能進一步轉(zhuǎn)化為極限問題；③運算出錯，得不到準確結(jié)果技巧與方法建立第n年的汽車保有量與每年新增汽車數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵、盡管本題入手容易，但解題過程中的準確性要求較高解設(shè)2001年末的汽車保有量為b1萬輛，以后各年汽車保有量依次為b2萬輛，b3萬輛，……每年新增汽車x萬輛，則b1=30,b2=b1×094+x,…對于n＞1，有bn+1=bn×094+x=bn–1×0942+(1+094)x,…所以bn+1=b1×094n+x(1+094+0942+…+094n

7、–1)=b1×094n+當(dāng)≥0，即x≤18時，bn+1≤bn≤…≤b1=30當(dāng)＜0，即x＞18時，并且數(shù)列{bn}逐項遞增，可以任意靠近因此如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即bn≤60(n=1,2,…)則有≤60，所以x≤36綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過36萬輛例3一只小船以10m/s的速度由南向北勻速駛過湖面，在離湖面高20米的橋上，一輛汽車由西向東以20m/s的速度前進（如圖），現(xiàn)在小船在水平P點以南的40米處，汽車在橋上以西Q點30米處（其中PQ⊥水面），則小船與汽車間的最短距離為（不考慮汽車與小船本身的大小）

8、解析設(shè)經(jīng)過時間t汽車在A點，船在B點，（如圖），則AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，設(shè)小船所在平面為α,AQ,QP確定平面為β,記α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l(fā)∩PB=P得PQ⊥α作AC∥PQ，則AC⊥α連CB，則AC⊥CB，進而A