直線傾斜角與斜率

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1、3.1直線的傾斜角與斜率3.1.1直線的傾斜角（1）定義：當(dāng)直線與軸相交時，我們?nèi)≥S作為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角。（2）如圖中的是直線的傾斜角，當(dāng)直線和軸平行或重合時，我們就規(guī)定直線的傾斜角為.因此，傾斜角的取值范圍是.（3）關(guān)于理解直線傾斜角應(yīng)注意的幾點:①清楚定義中含有的三個條件：A.直線向上方向；B.軸的正方向；C.小于平角的正角.②從運動變化觀點來看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角.③傾斜角的取值范圍是：.④傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述了直線對軸正方向的傾斜程

2、度.⑤平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.⑥確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角，二者缺一不可.3.1.2直線的斜率斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母表示，即說明：①當(dāng)傾斜角是時，直線的斜率不存在，并不是該直線不存在，此時，直線垂直與軸（或平行于軸或與軸重合）；②所有的直線都有傾斜角，但不是所有的直線都有斜率；③直線的斜率也反映直線相對于軸的正方向的傾斜程度，當(dāng)時

3、，k＞0，斜率越大，直線的傾斜程度就越大；當(dāng)=90o時，k不存在；當(dāng)時，k＜0，斜率越大，傾斜角越大.④斜率的公式：直線上兩點且，則直線的斜率例題1：設(shè)直線l與x軸的交點為P，且傾斜角為，若將直線l按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45o，得到直線l′的傾斜角為＋45o，則（）A.0o≤＜90oB.0o≤＜135oC.0o＜≤135oD.0o＜＜135o解答：由于直線l與x軸相交，可知≠0o，又與＋45o都是直線的傾斜角，所以0o＜＜180o且45o＜＋45o＜180o，∴.0o＜＜135o故選D例題2：給出的下列結(jié)論①直線的傾斜角不是銳角就是直

4、角或鈍角；②如果直線的傾斜角是銳角，那么直線的斜率為正實數(shù)；③如果直線的傾斜角是鈍角，那么直線的斜率為負實數(shù)；④如果直線的傾斜角為直角，那么直線上不同的兩點的橫坐標(biāo)相等，而縱坐標(biāo)不等。其中，正確的結(jié)論是_________（填序號）解析：①錯，錯在了遺漏了0o的角，故選②③④例題3：下列說法正確的是：（）A.直線的傾斜角為，則此直線的斜率為tanB.直線的斜率為tan，則此直線的傾斜角為C.若直線的傾斜角為，則sin＞0D.任意直線都有傾斜角，但它不一定有斜率解析：對于選項A，當(dāng)＝90o直線的斜率不存在

5、，故A錯，對于B選項，雖然直線的斜率為tan，但只有當(dāng)[0o，180o﹚時，才是此直線的傾斜角，故B錯，對于C選項，當(dāng)直線平行于x軸時，＝0o，而sin0o＝0，故C錯，所以選D例題4：已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角為（）A.30oB.120oC.150oD.60o解析：k＝tan＝，且，所以＝150o點評：應(yīng)熟記下列正切的值：角度0o30o45o60o90o120o135o150o180otan01不存在0例題5：若0o＜＜90o，則經(jīng)過兩點(0,sin),(cos,0)的直線的傾斜角為（）A.B.＋90oC.180o－

6、D.－思路分析：要求直線的傾斜角，必須先求斜率，因為斜率是傾斜角的正切值（斜率存在），由此可以求得解析：設(shè)直線的傾斜角為﹙≠90o﹚，則(此公式為正切誘導(dǎo)公式，不用糾結(jié)于此，到后面我們會講到)∵0o＜＜90o，∴－90o＜－＜0o，∴90o＜180o－＜180o又[0o，180o﹚，∴=180o－故選C例題6：已知直線經(jīng)過兩點A(2，1),B(m，2)（mR）,求直線l的斜率。解析：①當(dāng)m=2時，，直線l與x軸垂直，所以直線的斜率不存在②當(dāng)m≠2時,直線l的斜率綜上所述,當(dāng)m=2時,斜率不存在,當(dāng)m≠2時,斜率k=3.1.3兩直

7、線平行設(shè)兩條直線,的斜率分別為,若∥,則與的傾斜角與相等,我們可以得到,即,因此,若∥,則,反之,若,且,則∥,于是我們得到,對于兩條不重合的直線,,其斜率分別為,有∥,.此處并需注意一下兩個問題:①上面兩條直線平行的條件是斜率都存在且不重合②當(dāng)都垂直于x軸且不重合時,由于垂直于同一條直線的兩直線平行,可推得∥.3.1.4兩直線垂直設(shè)兩條直線的斜率分別為.若⊥，則.注意：①千萬注意此處⊥成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；②兩條直線中，當(dāng)一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率為0時，則兩條直線垂直.例題7：已知經(jīng)過點A(-

8、3，3),B(-8，6),經(jīng)過點M(,6),N(,-3),求證：∥點評：判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時，只需看它們的斜率是否相等即可，反過來，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時）。判定兩條直