代數(shù)結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)cartan

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1、http://shetcslion.blog.163.com/blog/static/6742112520081231911205/R^n至少有兩種重要的結(jié)構(gòu)：拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和代數(shù)結(jié)構(gòu)（線(xiàn)性空間結(jié)構(gòu)）。函數(shù)連續(xù)性只涉及第一種，而可微性則涉及兩種（？拓?fù)洹?微分拓?fù)?，拓?fù)淙骸?李群）因?yàn)槲⒎諨f(x)=A的定義牽涉到線(xiàn)性運(yùn)算和極限概念：f(x+h)-f(x)-Ah=o(

2、

3、h

4、

5、)可微性的概念可以推廣到有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和線(xiàn)性代數(shù)結(jié)構(gòu)這兩種結(jié)構(gòu)的其他空間?，F(xiàn)代微分概念源于非線(xiàn)性問(wèn)題的局部線(xiàn)性化。半球面是可以攤成平面區(qū)域

6、的要把地球表面畫(huà)成地圖，就非得把球面“撕破”不可http://www.govyi.com/lunwen/2008/200810/266972_5.shtmlhttp://tieba.baidu.com/f?kz=113722720同倫等價(jià)(homotopyequivalent)是拓?fù)鋵W(xué)中所關(guān)心的另外一種等價(jià)關(guān)系，它的要求比同胚更寬松。取一個(gè)拓?fù)淇臻g，對(duì)它進(jìn)行某些特定的連續(xù)形變，所得到的空間與原來(lái)的空間是同倫等價(jià)的。舉個(gè)例子：初始空間是一個(gè)實(shí)心球，我們可以把它壓縮成一張沒(méi)有體積的圓盤(pán)，再搓成一條

7、沒(méi)有面積的線(xiàn)段，甚至擠成一個(gè)連長(zhǎng)度都沒(méi)有的點(diǎn)，得到的這些空間都跟原來(lái)的同倫等價(jià)；我們也可以從原來(lái)的實(shí)心球里“長(zhǎng)”出半個(gè)圓盤(pán)來(lái)作為“耳朵”(半圓盤(pán)的直徑還貼在實(shí)心球表面上)，甚至再“長(zhǎng)”出幾條線(xiàn)段來(lái)作為“觸角”(線(xiàn)段的一端在實(shí)心球表面上)，所得到的空間還是跟原來(lái)的同倫等價(jià)?！敖K結(jié)者2”里面那個(gè)給人深刻印象的液體機(jī)器人，它在身體沒(méi)有撕裂開(kāi)的情況下的各種形態(tài)就是同倫等價(jià)的。研究拓?fù)涞囊环N方法是把拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題。最常見(jiàn)的例子是計(jì)算一個(gè)拓撲空間各個(gè)維數(shù)的同調(diào)群(homologygroup)和

8、同倫群(homotopygroup)，然后根據(jù)這些群的性質(zhì)推斷拓?fù)淇臻g的性質(zhì)。一維同倫群又叫做基本群(fundamentalgroup)。如果空間的基本群是只包含單位元素的平凡群，就稱(chēng)它是單連通的(simply-connected)。法國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)組織的系列講座給定映射A->B:映上的滿(mǎn)射滿(mǎn)同態(tài)映射(對(duì)任意B中的b,存在A中的a使a->b)1-1的單射??單一同態(tài)映射(a1!=a2=>b1!=b2)1-1映射雙射同構(gòu)映射什么是環(huán)？同余？理想？?引入環(huán)的作用：環(huán)比域更一般，對(duì)乘法不要求

9、成為交換群。理想是基于環(huán)定義的一個(gè)概念（具體定義技術(shù)性比較強(qiáng)）。非結(jié)合代數(shù)是環(huán)論的一個(gè)推廣。?數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，幾乎對(duì)任何代數(shù)課題（矩陣、多元二次型的代數(shù)、超數(shù)系、同余式、多項(xiàng)式方程的解的理論）和出現(xiàn)的問(wèn)題，都可能用任何一種抽象結(jié)構(gòu)去代替實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系；同樣，對(duì)于數(shù)論的問(wèn)題，可以用以個(gè)環(huán)去代替整數(shù)；甚至可以考慮系數(shù)屬于任意域的函數(shù)和冪級(jí)數(shù)。Wedderburn推廣了線(xiàn)性結(jié)合代數(shù)（超復(fù)數(shù)系）的工作，用任何域代替實(shí)數(shù)系或復(fù)數(shù)系；我們也可以用一個(gè)環(huán)代替一個(gè)域；系數(shù)屬于任意域或有限域的方程論也被研究；同樣研究了系數(shù)屬

10、于任意域的二次型。數(shù)域都是數(shù)環(huán)，但數(shù)環(huán)可能不是數(shù)域。代數(shù)是線(xiàn)性空間與環(huán)的結(jié)合幺環(huán)R上的記號(hào)x的多項(xiàng)式f（x）幺環(huán)R上x(chóng)的多項(xiàng)式環(huán)R[x]={f（x）}，R是R[x]的子環(huán)系數(shù)域F是多項(xiàng)式環(huán)F[x]的子集http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%91%E9%87%8F%E7%A9%BA%E9%96%93向量空間是一個(gè)[I]F[/I]-模[I]V[/I]的成員叫作[I]向量([/I]模元素[I])[/I]而[I]F[/I]的成員叫作[I]純量([/I]環(huán)元素[I]

11、)[/I]·若[I]F[/I]是實(shí)數(shù)域[B]R[/B]，[I]V[/I]稱(chēng)為[B]實(shí)數(shù)向量空間[/B].·若[I]F[/I]是複數(shù)域[B]C[/B]，[I]V[/I]稱(chēng)為[B]複數(shù)向量空間[/B].·若[I]F[/I]是有限域，[I]V[/I]稱(chēng)為[B]有限域向量空間[/B]·對(duì)一般域[I]F[/I]，[I]V[/I]稱(chēng)為[I]F[/I]-[B]向量空間[/B]http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A8%A1模(加群M)同向量空間一樣是加法阿貝爾群F-向量空間V是F-

12、模??第一講代數(shù)結(jié)構(gòu)引言：代數(shù)的粗略定義運(yùn)算的概念：內(nèi)合成法則、外合成法則內(nèi)合成法則的各種性質(zhì)：結(jié)合性、交換性、中性元、逆元由1個(gè)或多個(gè)合成法則定義的代數(shù)結(jié)構(gòu)：群、環(huán)、體同構(gòu)概念：從已有的代數(shù)對(duì)象構(gòu)造新的代數(shù)對(duì)象：商結(jié)構(gòu)：與等價(jià)關(guān)系相容的合成法則：