矢量分析與場論講義

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1、矢量分析與場論矢量分析是矢量代數(shù)和微機分運算的結(jié)合和推廣，主要研究矢性函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等。而場論則是借助于矢量分析這個工具，研究數(shù)量場和矢量場的有關(guān)概念和性質(zhì)。通過這一部分的學(xué)習(xí)，可使讀者掌握矢量分析和場論這兩個數(shù)學(xué)工具，并初步接觸到算子的概念及其簡單用法，為以后學(xué)習(xí)有關(guān)專業(yè)課程和解決實際問題，打下了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第一章矢量分析一內(nèi)容概要1矢量分析是場論的基礎(chǔ)，本章主要包括以下幾個主要概念：矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念。與高等數(shù)學(xué)研究過的數(shù)性函數(shù)的相應(yīng)概念完全類似，可以看成是這些概念在

2、矢量分析中的推廣。2本章所討論的，僅限于一個自變量的矢性函數(shù)，但在后邊場論部分所涉及的矢性函數(shù)，則完全是兩個或者三個自變量的多元矢性函數(shù)或者，對于這種多元矢性函數(shù)及其極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念，完全可以仿照本章將高等數(shù)學(xué)中的多元函數(shù)及其有關(guān)的相應(yīng)概念加以推廣而得出。3本章的重點是矢性函數(shù)及其微分法，特別要注意導(dǎo)矢的幾何意義，即是位于的矢端曲線上的一個切向矢量，其起點在曲線上對應(yīng)t值的點處，且恒指向t值增大的一方。如果將自變量取為矢端曲線的弧長s，即矢性函數(shù)成為，則不僅是一個恒指向s增大一方的切向矢量，而且是一個單位切向矢

3、量。這一點在幾何和力學(xué)上都很重要。4矢量保持定長的充分必要條件是與其導(dǎo)矢互相垂直。因此單位矢量與其導(dǎo)矢互相垂直。比如圓函數(shù)為單位矢量，故有，此外又由于，故。（圓函數(shù)還可以用來簡化較冗長的公式，注意靈活運用）。5在矢性函數(shù)的積分法中，注意兩個矢性函數(shù)的數(shù)量積和兩個矢性函數(shù)的矢量積的分部積分法公式有所不同，分別為：前者與高等數(shù)學(xué)種數(shù)性函數(shù)的分部積分法公式一致，后者由兩項相減變?yōu)榱饲蠛?，這是因為矢量積服從于“負(fù)交換律”之故。6在矢量代數(shù)中，在引進了矢量坐標(biāo)之后，一個空間量就和三個數(shù)量構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢量的一些運算，例如和、

4、差以及數(shù)量與矢量的乘積都可以轉(zhuǎn)化為三個數(shù)量坐標(biāo)的相應(yīng)運算。同樣，在矢量分析中，若矢性函數(shù)采用坐標(biāo)表示式，則一個矢性函數(shù)就和三個數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系，而且有關(guān)矢性函數(shù)的一些運算，例如計算極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分等亦可以轉(zhuǎn)化為對其三個坐標(biāo)函數(shù)的相應(yīng)運算。7矢性函數(shù)極限的基本運算公式(14)、導(dǎo)數(shù)運算公式(p11)、不定積分的基本運算公式(p16)典型例題：教材p6例2、p10例4、p12例6、p13例7。習(xí)題一（p19~20）此外還有上課所講的例題。補充：1）設(shè)，求2）一質(zhì)點以常角加速度沿圓周運動，試證明其加速度，其中為速度的模。

5、3）已知矢量，，計算積分。4）已知矢量，，計算積分。第一章場論一內(nèi)容概要1本章按其特點可以劃分為三部分：第一部分為第一節(jié)，除介紹場的概念外，主要討論了如何從宏觀上利用等值面（線）和矢量線描述場的分布規(guī)律；第二部分為第二、三、四節(jié)，內(nèi)容主要是從微觀方面揭示場的一些重要特性；第三部分為第五節(jié)，主要介紹三種具有某種特性而又常見的矢量場。其中第二部分又為本章之重點。2空間數(shù)量場的等值面和平面數(shù)量場的等值線以及矢量場的矢量線等，都是為了能夠形象直觀地體現(xiàn)所考察的數(shù)量或矢量在場中的宏觀分布情況而引入的概念。比如溫度場中的等溫面，電位場中的

6、等位面，都是空間數(shù)量場中等值面的例子；而地形圖上的等高線即為平面數(shù)量場中等值線的例子。在矢量場中，矢量線可以體現(xiàn)場矢量的分布狀況，又能體現(xiàn)場矢量的走向。例如流場中的流線，體現(xiàn)了流速的分布狀況和它們的走向。此外，由于矢量場中的每一點都有一條矢量線通過，因此對于場中的任一條曲線C（非矢量線），在其上的每一點也皆有一條矢量線通過，這些矢量線的全體，就構(gòu)成一曲面，稱為矢量面，特別的，當(dāng)曲線C為封閉曲線時，矢量面就成為一管形曲面，稱之為矢量管。3有一種空間場（矢量場或者數(shù)量場）具有這樣的一種幾何特點：就是在場中存在一族充滿場所在空間的平

7、行平面，場在其中每一個平面上的分布，都是完全相同的（若是矢量場，其場矢量同時也平行于這些平面）。對于這種場，只要知道場在其中任一平面的中的特性，則場在整個空間里的特性就知道了，因此，可以將這種場簡化到這族平面中的任意一個平面上來研究，因而，也把這種場稱為平行平面場。在平行平面場中，通常為了研究方便，通常取所研究的這一個平面為xoy平面。此時，在平行平面場中，場矢量就可以表示成為平面矢量，在平行平面數(shù)量場中，其數(shù)量就可以表示成為二元函數(shù)，并且這樣的研究結(jié)果適用于任何一塊與xoy面平行的平面。典型例題：習(xí)題2（最好能全部做一下）（

8、1）求數(shù)量場通過點M(1,2,1)的等值面。（2）求矢量場通過點M(2,1,1)的矢量線方程。4數(shù)量場中函數(shù)的方向?qū)?shù)是一個數(shù)量。它表示在場中的一個點處函數(shù)沿某一方向的變化率。詳細(xì)點說：其絕對值的大小，表示沿該方向函數(shù)變化的快慢程度，其符號的正負(fù)，則表示沿該方向函數(shù)的變化是增