數(shù)列專題之求通項公式

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1、數(shù)列專題之求通項公式【教學目標】1、通過從最基本的等差、等比數(shù)列求和問題進行變式，展現(xiàn)幾類常見的遞推公式；2、初步體驗將新數(shù)列的遞推公式迭代具體化，并猜測歸納新數(shù)列本質規(guī)律的方法；3、通過將新問題化歸為最基本的等差、等比數(shù)列求通項公式或求和的問題的過程，使學生初步掌握由數(shù)列遞推公式求通項公式的若干常用方法，并進一步體驗化歸思想和數(shù)學未知問題的研究方法?！窘虒W重難點】掌握幾類常見求數(shù)列通項公式的方法?！窘虒W過程】（框線內為板書）一、復習引入【引例】口答（1）在數(shù)列中，，，則_______________解：，（2）在數(shù)列中，，，則_______________解：，【基礎變式

2、】如果條件變化為以下形式，你還能求解通項公式嗎？（1）在正數(shù)項數(shù)列中，，，求_______________解：是以4為首項，3為公比的等比數(shù)列所以，，因為，所以，（2）在數(shù)列中，，，則_______________解：由題意，且，所以是以為首項，2為公差的等差數(shù)列所以，所以，【小結】非等差、等比數(shù)列，須化歸為等差、等比數(shù)列求解通項公式數(shù)列專題——數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式的基本思路：新數(shù)列問題————>等差、等比數(shù)列問題【進階變式】如果條件變化為以下形式，你還能求解通項公式嗎？（1）在數(shù)列中，，，求的通項公式（2）在數(shù)列中，，，求的通項公式（3）在數(shù)列中，，，求的通項公式（

3、4）在數(shù)列中，，，求的通項公式二、通過變式引入其他類型的求通項公式方法1、將引例（1）中的2改為2n，即變?yōu)椋绾吻蠼?？【?】在數(shù)列中，，，求的通項公式【分析1】根據(jù)遞推公式，表示出數(shù)列的前五項：，，，，減2之后成為：0,2,6,12,20，猜測（填空題可使用）但缺少嚴格論證【分析2】如果不計算答案，而將代入過程呈現(xiàn)：，，，，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（，）這是一種迭代的思路，等價的解法也可以是累加法：【分析3】通項公式變形為，即：，，，……，（，）發(fā)現(xiàn)可用這一系列的式子表示：（，）經(jīng)檢驗，，【小結】迭代法；累加法；求數(shù)列通項公式的方法：1、迭代法：不斷用變量的舊值遞推新值的過程；2、累

4、加法：（，）★適用情況：且可求前n項和2、將引例（2）中的3改為，即變?yōu)?，如何求解？【?】在數(shù)列中，，，求的通項公式【分析】將例2減法改成了除法，因此方法可以類比解：由題意，，所以，即：，，，……，（，）發(fā)現(xiàn)可用這一系列的式子表示：（，）當n=1時，所以，，【小結】累乘法；求數(shù)列通項公式的方法：3、累乘法：（，，）★適用情況：且可求前n項積3、將引例中的遞推公式組合成，如何求解？【例3】已知數(shù)列滿足，且，求的通項公式【提示】根據(jù)遞推公式，寫出前5項為：2，8，26，80，242,分別減1之后為3，9，27，81，243，為等比數(shù)列，因此猜測是等比數(shù)列解：設（），，可得，所

5、以，所以是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列所以，所以（）【思考】能否通過其他方式找到輔助數(shù)列，從而求解通項公式？【分析】只要合理分配遞推公式右式中的常數(shù)項2，就一定能構造輔助數(shù)列成為等比數(shù)列：設，展開整理得，令得所以必有，即是等比數(shù)列【鞏固練習】已知：，，構造輔助數(shù)列使其為等比數(shù)列解：設，展開整理得，令得所以必有，即是等比數(shù)列【小結】輔助數(shù)列法——待定系數(shù)法4、輔助數(shù)列法（1）倒數(shù)型（2）平方型（3）待定系數(shù)型★適用情況：（），可通過待定系數(shù)法構造等比輔助數(shù)列說明：p=1時為等差數(shù)列，q=0時為等比數(shù)列，p=0時為常數(shù)列，無需使用此方法。4、將例1中的a替換成S，即變?yōu)椋绾?/p>

6、求解？【例4】在數(shù)列中，，，求的通項公式【分析1】可根據(jù)例3先用待定系數(shù)法找到輔助數(shù)列，從而求出通項公式，繼而求出解法一：根據(jù)例3，可證是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，且（）當時，當時，所以；因為當時，所以（）【分析2】可利用化為遞推公式解法二：由已知：（），（，）兩式相減得（，）即（，）（從第二項開始為等比數(shù)列）又得，解得可得，所以（，）所以從第二項開始是以6為首項，3為公比的等比數(shù)列所以（，）當時，所以5、公式法（）【注】僅當時可用★適用情況：已知的通項公式或含的遞推公式★使用方法：（1）將與作差，消去（2）將代換成，消去【例5】在數(shù)列中，，，求的通項公式【分析】可利

7、用化為遞推公式解法一：，兩式相減得：所以是以2為首項為公比的等比數(shù)列解法二：，所以，即，之后用待定系數(shù)法求解【課堂總結】數(shù)列專題——數(shù)列通項公式求數(shù)列通項公式的基本思路：新數(shù)列問題————>等差、等比數(shù)列問題求數(shù)列通項公式的方法：1、迭代法：不斷用變量的舊值遞推新值的過程；2、累加法：（，）★適用情況：且可求前n項和3、累乘法：（，，）★適用情況：且可求前n項積4、輔助數(shù)列法（1）倒數(shù)型（2）平方型（3）待定系數(shù)型★適用情況：（），可通過待定系數(shù)法構造等比輔助數(shù)列5、公式法（）【注】僅當時可用★適用情況：已知的通項