層次分析法步驟解析—根法、和法、冪法

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1、層次分析法(AHP)AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，是由20世紀(jì)70年代由美國著名運(yùn)籌學(xué)學(xué)家T.L.Satty提出的。它是指將決策問題的有關(guān)元素分解成目標(biāo)、準(zhǔn)則、方案等層次，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定性分析和定量分析的一種決策方法。這一方法的特點(diǎn)，是在對(duì)復(fù)雜決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關(guān)系等進(jìn)行深入分析之后，構(gòu)建一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，然后利用較少的定量信息，把決策的思維過程數(shù)學(xué)化，從而為求解多準(zhǔn)則或無結(jié)構(gòu)特性的復(fù)雜決策問題提供了一種簡便的決策方法。AHP十分適用于具有定性的，或定性定量兼有的決策分析。這是一種十分有效的系統(tǒng)分析和科學(xué)決策方法，

2、現(xiàn)在已廣泛地應(yīng)用在企業(yè)信用評(píng)級(jí)、經(jīng)濟(jì)管理規(guī)劃、能源開發(fā)利用與資源分析、城市產(chǎn)業(yè)規(guī)劃、企業(yè)管理、人才預(yù)測(cè)、科研管理、交通運(yùn)輸、水資源分析利用等方面。一、遞階層次結(jié)構(gòu)的建立一般來說，可以將層次分為三種類型：（1）最高層：只包含一個(gè)元素，表示決策分析的總目標(biāo)，因此也稱為總目標(biāo)層。（2）中間層：包含若干層元素，表示實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)所涉及的各子目標(biāo)，包含各種準(zhǔn)則、約束、策略等，因此也稱為目標(biāo)層。（3）最低層：表示實(shí)現(xiàn)各決策目標(biāo)的可行方案、措施等，也稱為方案層。典型的遞階層次結(jié)構(gòu)如下：總目標(biāo)m準(zhǔn)則1準(zhǔn)則2準(zhǔn)則3準(zhǔn)則m1子準(zhǔn)則1子準(zhǔn)則2子準(zhǔn)則3子準(zhǔn)則m2方案1方案2方案3方案n一個(gè)好

3、的遞階層次結(jié)構(gòu)對(duì)解決問題極為重要，因此在建立遞階層次結(jié)構(gòu)時(shí)，應(yīng)注意到：（1）從上到下順序地存在支配關(guān)系，用直線段（作用線）表示上一層次因素與下一層次因素之間的關(guān)系，同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關(guān)系。（2）整個(gè)結(jié)構(gòu)不受層次限制。（3）最高層只有一個(gè)因素，每個(gè)因素所支配元素一般不超過9個(gè)，元素過多可進(jìn)一步分層。（4）對(duì)某些具有子層次結(jié)構(gòu)可引入虛元素，使之成為典型遞階層次結(jié)構(gòu)。二、構(gòu)造比較判斷矩陣設(shè)有m個(gè)目標(biāo)（方案或元素），根據(jù)某一準(zhǔn)則，將這m個(gè)目標(biāo)兩兩進(jìn)行比較，把第i個(gè)目標(biāo)（i=1,2,…,m）對(duì)第j個(gè)目標(biāo)的相對(duì)重要性記為aij，(j=1,2,…,m)，這樣構(gòu)造

4、的m階矩陣用于求解各個(gè)目標(biāo)關(guān)于某準(zhǔn)則的優(yōu)先權(quán)重，成為權(quán)重解析判斷矩陣，簡稱判斷矩陣，記作A=(aij)m×m。Satty于1980年根據(jù)一般人的認(rèn)知習(xí)慣和判斷能力給出了屬性間相對(duì)重要性等級(jí)表（見表4-4）。利用該表取aij的值，稱為1-9標(biāo)度方法。表4-4目標(biāo)重要性判斷矩陣A中元素的取值相對(duì)重要性定義說明1同等重要兩個(gè)目標(biāo)同樣重要3略微重要由經(jīng)驗(yàn)或判斷，認(rèn)為一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)略微重要5相當(dāng)重要由經(jīng)驗(yàn)或判斷，認(rèn)為一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要7明顯重要深感一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要，且這種重要性已有實(shí)踐證明9絕對(duì)重要強(qiáng)烈地感到一個(gè)目標(biāo)比另一個(gè)重要得多2,4,6,8兩個(gè)相鄰判斷的中間值

5、需要折中時(shí)采用若決策者能夠準(zhǔn)確估計(jì)aij（i,j,k=1,2,…,m），則有：aij=1/ajiaij=aik·akjaii=1定義4-1設(shè)A=(aij)m×m，A>0，（即aij>0;i,j=1,2,…,m），如果滿足條件（1）aii=1（i=1,2,…,m）；（2）aij=1/aji（i,j=1,2,…,m），則稱矩陣A為互反正矩陣。定義4-2設(shè)A=(aij)m×m，A>0，如果滿足條件aij=aik·akj（i,j,k=1,2,…,m）則稱矩陣A為一致性矩陣。定理4-1對(duì)于任何一個(gè)m階互反正矩陣A，均有≥m，其中是矩陣A的最大特征值。定理4-2m階互反正矩陣

6、A為一致性矩陣的充分必要條件是A的最大特征根為m。三、單準(zhǔn)則下的排序?qū)哟畏治龇ǖ男畔⒒A(chǔ)是比較判斷矩陣。由于每個(gè)準(zhǔn)則都支配下一層若干因素，這樣對(duì)于每一個(gè)準(zhǔn)則及它所支配的因素都可以得到一個(gè)比較判斷矩陣。因此根據(jù)比較判斷矩陣如何求得各因素w1,w2,…,wm對(duì)于準(zhǔn)則A的相對(duì)排序權(quán)重的過程稱為單準(zhǔn)則下的排序。這里設(shè)A=(aij)m×m，A>0。（一）本征向量法利用AW=W求出所有的值，其中為的最大值，求出對(duì)應(yīng)的特征向量W*，然后把特征向量W*規(guī)一化為向量W，則W=[w1,w2,…wm]T為各個(gè)目標(biāo)的權(quán)重。求需要解m次方程，當(dāng)m≥3時(shí)，計(jì)算比較麻煩，可以利用matlab來

7、求解。（二）判斷矩陣的近似解法判斷矩陣是決策者主觀判斷的定量描述，求解判斷矩陣不要求過高的精度。這里，介紹三種近似計(jì)算方法：根法、和法及冪法。冪法適于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。1、根法（1）A中每行元素連乘并開m次方，得到向量其中，（2）對(duì)W*作歸一化處理，得到權(quán)重向量W=(w1,w2,…wm)T，其中（3）對(duì)A中每列元素求和，得到向量S=(s1,s2,…sm)，其中sj=（4）計(jì)算的值，=2、和法（1）將A的元素按列作歸一化處理，得矩陣Q=(qij)m×m。其中，（2）將Q的元素按行相加，得向量。其中，（3）對(duì)向量作歸一化處理，得權(quán)重向量W=(w1,w2,…wm)T，其中

8、（4）求出